牛顿-莱布尼茨公式的运用

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

题1： f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续， F ( x ) = ∫ a x ( x − t ) f ( t ) d t F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt F(x)=∫ax(x−t)f(t)dt，求 F ′ ′ ( x ) F''(x) F′′(x)

解：
F ( x ) = x ∫ a x f ( t ) d t − ∫ a x t f ( t ) d t F(x)=x\int_a^xf(t)dt-\int_a^xtf(t)dt F(x)=x∫axf(t)dt−∫axtf(t)dt

所以

F ′ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + x f ( x ) − x f ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F'(x)=\int_a^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=\int_a^xf(t)dt F′(x)=∫axf(t)dt+xf(x)−xf(x)=∫axf(t)dt

由此可得

F ′ ′ ( x ) = f ( x ) F''(x)=f(x) F′′(x)=f(x)

题2： 计算 lim ⁡ x → + ∞ ( ∫ 0 x e t 2 d t ) 2 ∫ 0 x e 2 t 2 d t \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\int_0^xe^{t^2}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt} x→+∞lim∫0xe2t2dt(∫0xet2dt)2

解：
\qquad 运用洛必达法则，

\qquad 原式 = lim ⁡ x → + ∞ 2 e x 2 ∫ 0 x e t 2 d t e 2 x 2 = lim ⁡ x → + ∞ 2 ∫ 0 x e t 2 d t e x 2 = lim ⁡ x → + ∞ 2 e x 2 2 x e x 2 = lim ⁡ x → + ∞ 1 x = 0 =\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2e^{x^2}\int_0^xe^{t^2}dt}{e^{2x^2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2\int_0^xe^{t^2}dt}{e^{x^2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac 1x=0 =x→+∞lime2x22ex2∫0xet2dt=x→+∞limex22∫0xet2dt=x→+∞lim2xex22ex2=x→+∞limx1=0

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