最小二乘法拟合圆公式推导及vc实现

最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。最小二乘法通常用于曲线拟合 (least squares fitting) 。这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 vc实现。

VC实现的代码：

void CViewActionImageTool::LeastSquaresFitting()

{

if (m_nNum<3)

{

return;

}

int i=0;

double X1=0;

double Y1=0;

double X2=0;

double Y2=0;

double X3=0;

double Y3=0;

double X1Y1=0;

double X1Y2=0;

double X2Y1=0;

for (i=0;i<m_nNum;i++)

{

X1 = X1 + m_points[i].x;

Y1 = Y1 + m_points[i].y;

X2 = X2 + m_points[i].x*m_points[i].x;

Y2 = Y2 + m_points[i].y*m_points[i].y;

X3 = X3 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].x;

Y3 = Y3 + m_points[i].y*m_points[i].y*m_points[i].y;

X1Y1 = X1Y1 + m_points[i].x*m_points[i].y;

X1Y2 = X1Y2 + m_points[i].x*m_points[i].y*m_points[i].y;

X2Y1 = X2Y1 + m_points[i].x*m_points[i].x*m_points[i].y;

}

double C,D,E,G,H,N;

double a,b,c;

N = m_nNum;

C = N*X2 - X1*X1;

D = N*X1Y1 - X1*Y1;

E = N*X3 + N*X1Y2 - (X2+Y2)*X1;

G = N*Y2 - Y1*Y1;

H = N*X2Y1 + N*Y3 - (X2+Y2)*Y1;

a = (H*D-E*G)/(C*G-D*D);

b = (H*C-E*D)/(D*D-G*C);

c = -(a*X1 + b*Y1 + X2 + Y2)/N;

double A,B,R;

A = a/(-2);

B = b/(-2);

R = sqrt(a*a+b*b-4*c)/2;

m_fCenterX = A;

m_fCenterY = B;

m_fRadius = R;

return;

}

工程下载

编译运行后随便打开一个图片，当然最好是全白的图片，然后就点吧，大于三个点后就会开始拟合。红线画的圆为拟合的圆，深蓝的点为鼠标点击设置的样本点。单击鼠标右键清空样本集。

转自：http://www.cnblogs.com/dotLive/archive/2007/04/06/524633.html

看了下面的评论很有启发：贴上来，可以仔细研读下

#2楼 2007-04-05 09:53 | 路不平[未注册用户]

公式错误！

最小二乘法的意义是距离差值的平方（di-R）^2，不是距离平方差的平方(di^2-R^2)^2

两者是不同的！事实上

（di^2-R^2）=(di-R)(di+R)

因此，以上结果将使圆半径“趋小”！

#3楼 [ 楼主] 2007-04-05 13:37 | .Live

@路不平
其实是一样的。

最小化误差的平方和，将距离平方差认为是误差，可以表征和真实值得误差大小，使之最小也可以得到一个相对较优的拟合值。同时简化公式的推导。

如果使用距离的平方差，则平方和中会出现开根号，公式就很难推导了。

支持(1) 反对(0)

#4楼 2007-04-06 09:18 | 路不平[未注册用户]

回：dotLive

我编制过关于圆最小二乘的程序。起先我以为两者是一样的，就是：评价(di-R)^2与评价（di^2-R^2）^2是一样的。
但正如你所说，后者是把R^2作为真值进行考虑的。当然如果散点恰能构成一个圆，两者是一样的。因为：
（a^2-b^2）=(a+b)(a-b)=0
但我实际编程后（采用最速下降法）发现，后者的半径偏小（散点越不接近于圆越明显）！为什么呢？因为，最小二乘的几何原理考察的是“距离”的误差（di-R）。那么变成平方差（di^2-R^2）后，事实上是给（di-R）乘上了一个（di+R约=2R）的权重，最终实际的结果，当然是半径偏小。
事实上，你可以通过编程发现两者的差异！
当然上述推导依然是有价值的，因为这个结果作为迭代法的初值是再合适不过了！
实际的推导是不“可解”的，否则，《数学手册》就会出现相应的方法，就象线性回归和抛物线回归一样！

#5楼 [ 楼主] 2007-04-06 10:30 | .Live

@路不平
你的分析是对的，对我很有启发。我没有考虑到偏差的程度是如何变化的。你的分析应该说验证了这个推导在整体圆检测算法中的可行性。
事实上这个拟合公式确实迭代检测圆的一个步骤，我采取的方法是每次迭代删除方差大于某个阈值的点，认为它们是非圆上的点。
要使用这个迭代拟合的方法，还需要前面粗检测来限定范围，以保证进行拟合的点在圆周的一个特定范围内；最后删除点的迭代次数，也就是迭代停止条件也需要考虑和分析。最后我们希望是可以得到全部都是圆上的点，或者都是离真实边缘很接近的点，那么拟合的圆稍微有所偏差也是可以接受的。
还有一点是，这个检测的算法是假设在很高的分辨率下进行的，因此需要采用一些牺牲少量精度，大量降低计算量的方法，检测精度已经由高分辨的采集装置保证了一部分。

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