牛顿-莱布尼茨公式练习习题

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

习题1

已知 F ( x ) = ∫ 0 x 1 − t d t ( x ≤ 1 ) F(x)=\int_0^x\sqrt{1-t}dt(x\leq 1) F(x)=∫0x1−t dt(x≤1)，求 F ′ ( x ) F'(x) F′(x)

解：
\qquad 当 x 0 ∈ [ 0 , 1 ] x_0\in[0,1] x0∈[0,1]时，

F ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 F ( x 0 + Δ x ) − F ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x 0 x 0 + Δ x 1 − t Δ x F'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{F(x_0+\Delta x)-F(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}\sqrt{1-t}}{\Delta x} F′(x0)=Δx→0limΔxF(x0+Δx)−F(x0)=Δx→0limΔx∫x0x0+Δx1−t

\qquad 令 G ( x ) G(x) G(x)为 f ( x ) = 1 − x f(x)=\sqrt{1-x} f(x)=1−x 的一个原函数，则

F ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 G ( x 0 + Δ x ) − G ( x 0 ) Δ x = G ′ ( x ) = 1 − x F'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{G(x_0+\Delta x)-G(x_0)}{\Delta x}=G'(x)=\sqrt{1-x} F′(x0)=Δx→0limΔxG(x0+Δx)−G(x0)=G′(x)=1−x

\qquad 由此可得 F ′ ( x ) = 1 − x F'(x)=\sqrt{1-x} F′(x)=1−x

习题2

已知 F ( x ) = ∫ 0 arctan ⁡ x tan ⁡ t d t F(x)=\int_0^{\arctan x}\tan tdt F(x)=∫0arctanxtantdt，求 F ′ ( x ) F'(x) F′(x)

解：
\qquad 令 G ( x ) = ∫ 0 x tan ⁡ t d t G(x)=\int_0^x\tan tdt G(x)=∫0xtantdt，则 G ′ ( x ) = tan ⁡ t G'(x)=\tan t G′(x)=tant，所以

F ( x ) = G ( arctan ⁡ x ) F(x)=G(\arctan x) F(x)=G(arctanx)

那么

F ′ ( x ) = 1 1 + x 2 G ′ ( x ) = tan ⁡ x 1 + x 2 F'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}G'(x)=\dfrac{\tan x}{1+x^2} F′(x)=1+x21G′(x)=1+x2tanx

习题3

已知 F ( x ) = ∫ x x 2 e − t 2 d t F(x)=\int_{\sqrt x}^{x^2}e^{-t^2}dt F(x)=∫x x2e−t2dt，求 F ′ ( x ) F'(x) F′(x)

解：
\qquad

\qquad 令 G ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt G(x)=∫0xe−t2dt，则 G ′ ( x ) = e − x 2 G'(x)=e^{-x^2} G′(x)=e−x2，所以

F ( x ) = ∫ 0 x 2 e − t 2 d t − ∫ 0 x e − t 2 d t = G ( x 2 ) − G ( x ) F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt-\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}dt=G(x^2)-G(\sqrt x) F(x)=∫0x2e−t2dt−∫0x e−t2dt=G(x2)−G(x )

\qquad 那么

F ′ ( x ) = 2 x G ′ ( x 2 ) − 1 2 x G ′ ( x ) = 2 x e − x 4 − 1 2 x e − x F'(x)=2xG'(x^2)-\dfrac{1}{2\sqrt x}G'(\sqrt x)=2xe^{-x^4}-\dfrac{1}{2\sqrt x}e^{-x} F′(x)=2xG′(x2)−2x 1G′(x )=2xe−x4−2x 1e−x

总结

若遇到 F ( x ) = ∫ v ( x ) u ( x ) f ( t ) d t F(x)=\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt F(x)=∫v(x)u(x)f(t)dt这样的函数并要求求导，一般要化为复合函数的形式，再用牛顿-莱布尼茨公式来解决问题。

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