通信信号与系统分析（一）

本篇主要分为两部分来阐述，分别为：离散信号和系统，Fourier分析。

(1)离散信号与系统

离散时间信号是最常见的信号形式，对连续时间信号进行采样可以得到离散时间信号。

A离散信号

例1 画出x=cos2t,0<=t<=2*pi的抽样序列，抽样周期为0.1s。

clear all
t=0:0.1:2*pi;//抽样时间
x=cos(2*t);
stem(t,x);

B 卷积和

卷积和是求离散线性时不变系统的主要方法。MATLAB给出了求两个线性卷和函数conv(x,y).利用它可以方便的求出两个序列的卷积和。

例2 求序列h(n)=exp(-0.1*n),x(n)=exp(-0.2*n),0<=n<=40的卷积和。代码如下：
clear all
n=0:40;
x1=sin(2*pi*0.1*n);
x2=exp(-0.1*n);
x=x1+x2;
y=x1.*x2;
subplot(4,1,1);stem(n,x1);title('x1')
subplot(4,1,2);stem(n,x2);title('x2')
subplot(4,1,3);stem(n,x);title('x')
subplot(4,1,4);stem(n,y);title('y')

C求输出相应

一个离散时间系统可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式。总之，输入输出有一种关系存在，我们知道输入，就可以得到输出。

例3 一个离散时间系统输入/输出关系为：
y(n)=a*y(n-1)+x(n);
若：
(1)x(n)=1,n=0;
(2)x(n)=exp(-0.1*n),0<=n<=40;
且a=0.8,y(n)=0,n<0,y(0)=x(0),试求上述系统在所给定输入下的相应。

clear all
N=60;
x1=zeros(1,N);
x1(1)=1;
x2=zeros(1,N);
x2(1:41)=exp(-0.1*(0:40));
y1(1)=x1(1);
y2(1)=x2(1);
for n=2:N
y1(n)=0.8*y1(n-1)+x1(n);
y2(n)=0.8*y2(n-1)+x2(n);
end
subplot(4,1,1);stem(x1);title('x1')
subplot(4,1,2);stem(x2);title('x2')
subplot(4,1,3);stem(y1);title('y1')
subplot(4,1,4);stem(y2);title('y2')

（2）Fourier分析

Fourier分析包括了连续时间和离散时间Fourier变换和Fourier级数，以及包括数字信号处理中最基本也是最重要的离散Fourier变换（DCT）；

A 连续时间信号的Fourier变换

F=fourier(f)是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于w的函数。
f=ifourier(F)是函数F的Fourier逆变换，默认的独立变量是w，默认返回是关于x的函数。
注意：
（1）在调用fourier和ifourier之前，需用syms命令对所用到的变量进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。
（2）采用fourier和ifourier得到的返回函数，仍然是符号表达式。如需对返回的函数作图，应该用ezplot绘图命令而不是plot命令。如果返回函数中含有狄利克雷函数，ezplot也无法绘图。

例1 试绘出连续时间信号f(t)=t*exp(-abs(t))的时域波形f(t)及相应的幅频特性。
代码如下：
clear all
syms t;
f=t*exp(-abs(t));
subplot(1,2,1);ezplot(f);
F=fourier(f)
subplot(1,2,2);ezplot(abs(F));

例2 若某信号的fourier变换F(w)=pi*exp(-abs(w)),试绘出该信号的时域波形和频谱图。
clear all
syms t w;
F=pi*exp(-abs(w));
subplot(1,2,1); ezplot(abs(F));
f=ifourier(F,t)
subplot(1,2,2); ezplot(f)

B离散时间的Fourier变换

例1 求下列序列的DTFT并绘制频谱图(1)h(n)=exp(-abs(0.1*n1));-15<=n<=15
(2)h(n)=1,0<=n<=20
代码如下：
clear all
w=-4:0.001:4;%matlab无法计算连续变量w
n1=-15:15;
n2=0:20;
h1=exp(-abs(0.1*n1));
h2(n2+1)=1;
Hjw1=h1*(exp(-j*pi).^(n1'*w));
%这里是fourier的展开形式
Hjw2=h2*(exp(-j*pi).^(n2'*w));
subplot(2,1,1);plot(w,abs(Hjw1))
title('H1');xlabel('pi弧度(w)');ylabel('振幅')
subplot(2,1,2);plot(w,abs(Hjw2));
title('H2');xlabel('pi弧度(w)');ylabel('振幅')

注意：在实域的卷积相当于在频域相乘，因此可以通过Y->y，绕过求卷积的步骤。

例1 一个系统的单位脉冲相应为h(n)=sin(0.2*n)*exp(-0.1*n).0<=n<=30.试求：
(1)该系统的频率相应
(2)若输入信号为x(n)=2*sin(0.2*pi*n)+3*cos(0.4*pi*n),0<=n<=30,确定该系统的稳态输出相应。
程序代码如下：clear all
w=-1:0.001:1;
n=0:30;
h=sinc(0.2*n);
x=2*sin(0.2*pi*n)+3*cos(0.4*pi*n);
Hjw=h*(exp(-j*pi).^(n'*w));
Xjw=x*(exp(-j*pi).^(n'*w));
Yjw=Xjw.*Hjw;
n1=0:2*length(n)-2;
dw=0.001*pi;
y=(dw*Yjw*(exp(j*pi).^(w'*n1)))/(2*pi);
y1=conv(x,h);
subplot(3,1,1);plot(w,abs(Hjw))
title('H');xlabel('pi弧度(w)');ylabel('振幅')
subplot(3,1,2);plot(w,abs(Xjw));
title('X');xlabel('pi弧度(w)');ylabel('振幅')
subplot(3,1,3);plot(w,abs(Yjw));
title('Y');xlabel('pi弧度(w)');ylabel('振幅')figure
subplot(2,1,1);stem(abs(y));title('通过IDTFT计算出的输出序列Y');
subplot(2,1,2);stem(abs(y1));title('通过时域卷积计算出的输出序列Y1')

注意：
(1)由于IDTFT的定义中用到了积分，为了在程序中能够实现，我们用分段求和的方法来代替积分。

C 离散Fourier变换

我们在前边讲了离散时间信号的Fourier变换，它有两个特点：
(1)变换是用于无限长的序列。
(2)变换的结果是自变量w的连续函数。从数值计算的角度来看，第二个特点限制了它的应用范围，因为要求计算序列无限项和。在前边为了计算无限长序列DTFT，是把序列进行截断而得到有限长的近似。换句话说，DTFT虽然在理论上具有很重要的意义，但在实际中往往很难得到，不适合在计算机上实现。为了在实际中得到信号的频域变换，需要一种在时域和频域都是离散的Fourier变换，这就是DFT。由于长序列的DFT计算量相当大，因此出现了几种计算DFT的高效方法，统称为FFT。事实上，正是由于FFT的出现，才使得DFT在实际上得到了广泛的应用。

例1  一个离散序列x(n)=sin(0.2*n)*exp(-0.1*n),0<=n<=30,试求该序列的DFT。程序代码如下：
clear all
n=0:30;
x=sin(0.2*n).*exp(-0.1*n);
k=0:30;
N=31;
Wnk=exp(-j*2*pi/N).^(n'*k);
X=x*Wnk;
subplot(2,1,1);stem(n,x);title('序列x')
subplot(2,1,2);stem(-15:15,[abs(X(17:end)) abs(X(1:16))])
title('X幅度')

注意：
因为DFT默认的下标范围是[0,N-1],采取对下标的重新排列，是为了体现序列DFT的对称性。

Fourier变换的循环卷积和线性卷积

例1  已知序列h(n)={6,3,4,2,1,-2},x(n)={3,2,6,7,-1,-3},试分别用直接法和DFT求两个序列的循环卷积序列。
程序打码如下：
clear all
h=[6 3 4 2 1 -2];
x=[3 2 6 7 -1 -3];
h1=fliplr(h);
H=toeplitz(h,[h(1) h1(1:5)]);%生成循环矩阵
y=H*x';H=fft(h);
X=fft(x);
Y=H.*X;
y1=ifft(Y);subplot(2,1,1);stem(y);title('直接计算')
subplot(2,1,2);stem(y1);title('DFT计算')

DFT也可以计算线性卷积，对x(n),h(n)分别扩展。

例2 已知序列h(n)sinc(0.2*n),0<=n<=20,x(n)=exp(-0.2*n),0<=n<=10,试分别用直接发和DFT计算线性卷积序列。
代码如下：
clear all
n1=0:20;
n2=0:10;
h=sinc(0.2*n1);
x=exp(-0.2*n2);
y=conv(x,h);h1=[h zeros(1,length(x)-1)];
x1=[x zeros(1,length(h)-1)];
H1=fft(h1);
X1=fft(x1);
Y1=H1.*X1;
y1=ifft(Y1);subplot(2,1,1);stem(y);title('直接计算')
subplot(2,1,2);stem(y1);title('DFT计算')

结果为：

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