LOJ10068(BZOJ1977)(Luogu4180)

LOJ10068

这是严格次小生成树的模板题~~

我们首先考虑非严格次小生成树（看这篇):
可以证明，只要更改原图一条边就是满足条件的最优解：
首先我们假设加入一条边E，则最小生成树上形成了一个环，贪心的想法，我们会选择环中最长的一边替换掉

假如再添加一条边E_(显然E_>=E)

若E_不在该环中，由于原图已为最小生成树，答案绝不会变小
若E_在该环中，由于E_>=E,答案也不会变好

这样就证明了只需替换一条边
接下来考虑如何快速找出环上的最大边
显然可以分成两段：
x———–>LCA(x,y)
y———–>LCA(x,y)
既然都扯上LCA了，那么在LCA同时顺便刷答案即可
就像这样：

void DFS(int x,int da,int va){dep[x]=dep[da]+1,up[x][0]=da,p[x][0]=va;for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) up[x][i]=up[up[x][i-1]][i-1],p[x][i]=Max(p[x][i-1],p[up[x][i-1]][i-1]);for(int j=lnk[x];j;j=nxt[j]) if(son[j]!=da) DFS(son[j],x,w[j]);
}
int LCA(int x,int y){int now=0;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);while(dep[x]>dep[y]) now=Max(now,p[x][pow[dep[x]-dep[y]]-1]),x=up[x][pow[dep[x]-dep[y]]-1];if(x==y) return now;for(int k=pow[dep[x]];k>=0;k--)if(up[x][k]!=up[y][k])now=Max(Max(p[x][k],p[y][k]),now),x=up[x][k],y=up[y][k];return Max(Max(p[x][0],p[y][0]),now);
}

再考虑如何求严格的。。
即当环中最大边==添入的边时，该怎么办
还是贪心想法，取严格次大边呗！
~~不过写起来真心爽~~
预处理：

#define Up up[x][i-1]
int dep[maxn],up[maxn][Log],val[maxn][Log],vll[maxn][Log];//val最大，vll严格次大
void DFS(int x,int dad){
    dep[x]=dep[dad]+1,up[x][0]=dad;
    for(__R int i=1;Pow[i]+1<=dep[x];i++){        up[x][i]=up[Up][i-1];
        if(val[x][i-1]>val[Up][i-1]){            val[x][i]=val[x][i-1];
            vll[x][i]=(vll[x][i-1]>val[Up][i-1]?vll[x][i-1]:val[Up][i-1]);//此时vll[x][i-1]!=val[x][i-1]且val[Up][i-1]!=val[x][i-1](val[Up][i-1]<val[x][i-1])
        }else{            val[x][i]=val[Up][i-1];
            if(vll[Up][i-1]>=val[x][i-1]) vll[x][i]=vll[Up][i-1];//vll[Up][i-1]必!=val[Up][i-1]
              else if(val[x][i-1]!=val[x][i]) vll[x][i]=val[x][i-1];//严格
                else vll[x][i]=(vll[x][i-1]>vll[Up][i-1]?vll[x][i-1]:vll[Up][i-1]);//vll显然是严格小于的
        }
    }
    for(__R int j=lnk[x];j;j=nxt[j])if(son[j]!=dad) val[son[j]][0]=w[j],vll[son[j]][0]=INF,DFS(son[j],x);
}

询问比较简单~~（copy地巨爽）~~

int LCA(int x,int y,int p){int D=INF,t;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);while(dep[x]>dep[y]){if(val[x][t=LoG[dep[x]-dep[y]]-1]!=p) D=val[x][t]>D?val[x][t]:D;else D=vll[x][t]>D?vll[x][t]:D;x=up[x][t];}if(x==y) return D;for(__R int k=LoG[dep[x]]-1;k>=0;k--)if(up[x][k]!=up[y][k]){if(val[x][k]!=p) D=val[x][k]>D?val[x][k]:D;else D=vll[x][k]>D?vll[x][k]:D;if(val[y][k]!=p) D=val[y][k]>D?val[y][k]:D;else D=vll[y][k]>D?vll[y][k]:D;x=up[x][k],y=up[y][k];}__R int k=0;if(val[x][k]!=p) D=val[x][k]>D?val[x][k]:D;else D=vll[x][k]>D?vll[x][k]:D;if(val[y][k]!=p) D=val[y][k]>D?val[y][k]:D;else D=vll[y][k]>D?vll[y][k]:D;return D;
}

然后就可以了。。
复杂度O(N∗logN+E∗logN)O(N∗logN+E∗logN)O(N*log_N+E*log_N)

#include<bits/stdc++.h>
#define gt() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define Up up[x][i-1]
#define LL long long
#define __R register
using namespace std;
static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
const int maxE=(3e5)+5,maxn=(1e5)+5,Log=22,INF=-(2e9);
int n,m,fa[maxn],Pow[Log+5],LoG[maxn];bool vis[maxE];LL Ans=(LL)1<<60,S;
int tot,son[maxn<<1],nxt[maxn<<1],w[maxn<<1],lnk[maxn];
void add_e(int x,int y,int z){son[++tot]=y,w[tot]=z,nxt[tot]=lnk[x],lnk[x]=tot;}
struct Edges{int x,y,w;bool operator <(const Edges b)const{return w<b.w;}
}E[maxE];
int read(){int ret=0;char ch=gt();while(ch<'0'||ch>'9') ch=gt();while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=gt();return ret;
}
int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);}
int dep[maxn],up[maxn][Log],val[maxn][Log],vll[maxn][Log];//val最大，vll严格次大
void DFS(int x,int dad){dep[x]=dep[dad]+1,up[x][0]=dad;for(__R int i=1;Pow[i]+1<=dep[x];i++){up[x][i]=up[Up][i-1];if(val[x][i-1]>val[Up][i-1]){val[x][i]=val[x][i-1];vll[x][i]=(vll[x][i-1]>val[Up][i-1]?vll[x][i-1]:val[Up][i-1]);//此时vll[x][i-1]!=val[x][i-1]且val[Up][i-1]!=val[x][i-1](val[Up][i-1]<val[x][i-1])}else{val[x][i]=val[Up][i-1];if(vll[Up][i-1]>=val[x][i-1]) vll[x][i]=vll[Up][i-1];//vll[Up][i-1]必!=val[Up][i-1] else if(val[x][i-1]!=val[x][i]) vll[x][i]=val[x][i-1];//严格 else vll[x][i]=(vll[x][i-1]>vll[Up][i-1]?vll[x][i-1]:vll[Up][i-1]);//vll显然是严格小于的 }}for(__R int j=lnk[x];j;j=nxt[j])if(son[j]!=dad) val[son[j]][0]=w[j],vll[son[j]][0]=INF,DFS(son[j],x);
}
int LCA(int x,int y,int p){int D=INF,t;if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);while(dep[x]>dep[y]){if(val[x][t=LoG[dep[x]-dep[y]]-1]!=p) D=val[x][t]>D?val[x][t]:D;else D=vll[x][t]>D?vll[x][t]:D;x=up[x][t];}if(x==y) return D;for(__R int k=LoG[dep[x]]-1;k>=0;k--)if(up[x][k]!=up[y][k]){if(val[x][k]!=p) D=val[x][k]>D?val[x][k]:D;else D=vll[x][k]>D?vll[x][k]:D;if(val[y][k]!=p) D=val[y][k]>D?val[y][k]:D;else D=vll[y][k]>D?vll[y][k]:D;x=up[x][k],y=up[y][k];}__R int k=0;if(val[x][k]!=p) D=val[x][k]>D?val[x][k]:D;else D=vll[x][k]>D?vll[x][k]:D;if(val[y][k]!=p) D=val[y][k]>D?val[y][k]:D;else D=vll[y][k]>D?vll[y][k]:D;return D;
}
int main(){n=read(),m=read();for(__R int i=1;i<=m;i++) E[i]=(Edges){read(),read(),read()};sort(E+1,E+1+m);for(__R int i=0;(Pow[i]=1<<i)<=n;i++);for(__R int i=1;i<=n;i++) LoG[i]=LoG[i-1]+(Pow[LoG[i-1]]==i),fa[i]=i;for(__R int i=1,fx,fy;i<=m;i++)if((fx=getfa(E[i].x))!=(fy=getfa(E[i].y))){fa[fx]=fy,S+=E[i].w,vis[i]=1;add_e(E[i].x,E[i].y,E[i].w),add_e(E[i].y,E[i].x,E[i].w);}DFS(1,0);LL now;for(__R int i=1;i<=m;i++) if(!vis[i]&&(now=S-LCA(E[i].x,E[i].y,E[i].w)+E[i].w)<Ans) Ans=now;printf("%lld\n",Ans);return 0;
}

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