多面集的表示定理 (Representation / Resolution / Caratheodory theorem of polyhedral Sets)

设 S={X∈Rn:AX≤b,X≥0⃗ }S={X∈Rn:AX≤b,X≥0→}S = \{ X \in \mathbb R ^{n} : AX \le b, X \ge \vec 0 \} 为非空多面集，其中
A=⎛⎝⎜⎜a1⋮am⎞⎠⎟⎟∈Rm×n,b=⎛⎝⎜⎜b1⋮bm⎞⎠⎟⎟∈RmA=(a1⋮am)∈Rm×n,b=(b1⋮bm)∈RmA = \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_m\end{pmatrix} \in \mathbb R ^{m \times n}, b = \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix} \in \mathbb R ^{m}
则：

SSS 至少有一个极点且极点的数量有限，记为 {X1,⋯,Xk},k∈N,k≥1" role="presentation">{X1,⋯,Xk},k∈N,k≥1{X1,⋯,Xk},k∈N,k≥1 \{ X_1, \cdots, X_k \}, k \in \mathbb N, k \ge 1 。
SSS 没有极方向当且仅当 S" role="presentation">SSS 有界。
SSS 的不同的极方向的数量有限，记为 {d→1,⋯,d→l},l∈N,l≥0" role="presentation">{d⃗ 1,⋯,d⃗ l},l∈N,l≥0{d→1,⋯,d→l},l∈N,l≥0 \{ \vec d_1, \cdots, \vec d_l \}, l \in \mathbb N, l \ge 0 。
∀X∈Rn,X∈S∀X∈Rn,X∈S\forall X \in \mathbb R^n, X \in S 当且仅当 XXX 可以被表示成 X1,⋯,Xk" role="presentation">X1,⋯,XkX1,⋯,Xk X_1, \cdots, X_k 的凸组合加上 d⃗ 1,⋯,d⃗ ld→1,⋯,d→l\vec d_1, \cdots, \vec d_l 的非负线性组合，
即存在集合 {λi∈R:∑i=1kλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k}{λi∈R:∑i=1kλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k}\{ \lambda_i \in \mathbb R: \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i = 1, \lambda_i \ge 0, i \in \mathbb N, 1 \le i \le k \} 与 {μi∈R:μi≥0,i∈N,1≤i≤l}{μi∈R:μi≥0,i∈N,1≤i≤l}\{ \mu_i \in \mathbb R: \mu_i \ge 0, i \in \mathbb N, 1 \le i \le l \} ，
使得： X=∑i=1kλiXi+∑i=1lμid⃗ iX=∑i=1kλiXi+∑i=1lμid→iX = \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i X_i + \sum \limits_{i = 1} ^{l} \mu_i \vec d_i

证明

令 C=⎛⎝⎜⎜c1⋮cm+n⎞⎠⎟⎟=(A−In×n),b′=⎛⎝⎜⎜b′1⋮b′m+n⎞⎠⎟⎟=(b0⃗ n×1)C=(c1⋮cm+n)=(A−In×n),b′=(b1′⋮bm+n′)=(b0→n×1)C = \begin{pmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ c_{m + n} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ -I_{n \times n} \\ \end{pmatrix}, b' = \begin{pmatrix} b_{1}' \\ \vdots \\ b_{m + n}' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ \vec 0_{n \times 1} \\ \end{pmatrix} ，
则 S={X∈Rn:CX≤b′}S={X∈Rn:CX≤b′}S = \{ X \in \mathbb R ^n : CX \le b' \}
定义函数 ϕ:Rn↦Rϕ:Rn↦R\phi : \mathbb R ^n \mapsto \mathbb R ，
∀X∈Rn,ϕ(X)=∀X∈Rn,ϕ(X)=\forall X \in \mathbb R ^n , \phi (X) = 向量组 {ci:ciX=b′i,i∈N,1≤i≤m+n}{ci:ciX=bi′,i∈N,1≤i≤m+n}\{c_i : c_i X = b_i', i \in \mathbb N, 1 \le i \le m + n \} 的秩。则：

1.1 SSS 至少有一个极点。

由多面集的极点的性质，点 X" role="presentation">XXX 是 SSS 的极点当且仅当 ϕ(X)=n" role="presentation">ϕ(X)=nϕ(X)=n \phi (X) = n 。因此只要证明存在 X∈S,X∈S,X \in S, 使得 ϕ(X)=nϕ(X)=n \phi (X) = n 。
下面用归纳法证明： ∀i∈N,∀i∈N,\forall i \in \mathbb N, 若存在 X∈S,X∈S,X \in S, 使得 ϕ(X)=n−i,ϕ(X)=n−i,\phi (X) = n - i, 则存在 X′∈S,X′∈S,X' \in S, 使得 ϕ(X′)=nϕ(X′)=n \phi (X') = n 。

i=0i=0i = 0 时 ϕ(X)=nϕ(X)=n\phi (X) = n ，命题显然成立。
假设 i≤m(m∈N)i≤m(m∈N)i \le m (m \in \mathbb N) 时成立，则 i=m+1i=m+1i = m + 1 时，
2.1 若 m≥n,m≥n,m \ge n, 则 ϕ(X)=n−i=n−(m+1)≤−1<0,ϕ(X)=n−i=n−(m+1)≤−1<0,\phi (X) = n - i = n - (m + 1) \le -1 \lt 0, 由于 ∀X∈S,ϕ(X)≥0∀X∈S,ϕ(X)≥0\forall X \in S, \phi (X) \ge 0 ，因此不存在 X∈S,X∈S,X \in S, 使得 ϕ(X)=n−i,ϕ(X)=n−i,\phi (X) = n - i, 因此命题成立。
2.2 否则， 0≤m<n0≤m<n0 \le m \lt n ，则 ϕ(X)=n−i=n−(m+1)=n−1−m∈[0,n−1],ϕ(X)=n−i=n−(m+1)=n−1−m∈[0,n−1],\phi (X) = n - i = n - (m + 1) = n - 1 - m \in [0, n - 1], 根据多面集的点的性质2，存在 X′∈S,X′∈S,X' \in S, 使得 ϕ(X′)≥ϕ(X)+1=n−(m+1)+1=n−m,ϕ(X′)≥ϕ(X)+1=n−(m+1)+1=n−m,\phi (X') \ge \phi (X) + 1 = n - (m + 1) + 1 = n - m, 则 n−ϕ(X′)≤m,n−ϕ(X′)≤m,n - \phi (X') \le m, 由归纳法，命题成立。
由于 SSS 非空，于是存在 X∈S," role="presentation">X∈S,X∈S,X \in S, 显然 0≤ϕ(X)≤n,0≤ϕ(X)≤n,0 \le \phi (X) \le n, 因此存在 X′∈SX′∈SX' \in S ，使得 ϕ(X′)=nϕ(X′)=n \phi (X') = n 。因此SSS 至少有一个极点 X′" role="presentation">X′X′X' 。

1.2 SSS 的极点数量有限

由多面集的极点的性质，对于 S" role="presentation">SSS 的任意一个极点，在 CCC 中存在一个秩为 n" role="presentation">nnn 的行向量组
cn1,⋯,cnpcn1,⋯,cnpc_{n_1}, \cdots, c_{n_p} ，使得 ⎧⎩⎨⎪⎪cn1X=b′n1⋮cnpX=b′np{cn1X=bn1′⋮cnpX=bnp′\begin{cases} c_{n_1} X = b_{n_1}' \\ \vdots \\ c_{n_p} X = b_{n_p}' \end{cases} 。
对于 CCC 中任意一个秩为 n" role="presentation">nnn 的行向量组 cn1,⋯,cnpcn1,⋯,cnpc_{n_1}, \cdots, c_{n_p} ，最多有一个满足 ⎧⎩⎨⎪⎪cn1X=b′n1⋮cnpX=b′np{cn1X=bn1′⋮cnpX=bnp′\begin{cases} c_{n_1} X = b_{n_1}' \\ \vdots \\ c_{n_p} X = b_{n_p}' \end{cases} 的点，
因此最多有一个 SSS 的极点满足该方程组。
由于 C" role="presentation">CCC 中秩为 nnn 的行向量组有限，因此 S" role="presentation">SSS 的极点数量有限。

2. SSS 没有极方向当且仅当 S" role="presentation">SSS 有界。

对于任意一个X∈RnX∈RnX \in \mathbb R ^{n} ，定义 |X|=1⃗ 1×nX|X|=1→1×nX\vert X \vert = {\vec 1}_{1 \times n} X 。
令集合 S′={X∈Rn:AX≤0⃗ ,X≥0⃗ ,|X|=1}S′={X∈Rn:AX≤0→,X≥0→,|X|=1}S' = \left \{ X \in \mathbb R ^{n} : AX \le \vec 0, X \ge \vec 0, \vert X \vert = 1 \right \} ，易知 S′S′S' 是有界多面集。

2.1 引理

对于任意一个d⃗ ∈Rnd→∈Rn\vec d \in \mathbb R ^{n} ， d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向当且仅当 d→′=1|d→|d→" role="presentation">d⃗ ′=1|d⃗ |d⃗ d→′=1|d→|d→\vec d' = \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \vec d 是 S′S′S' 的一个极点。
⇒:⇒:\Rightarrow:
设 d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向。则 d→" role="presentation">d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个方向，由多面集的方向的性质，
{Ad→≤0→d→≥0→" role="presentation">{Ad⃗ ≤0⃗ d⃗ ≥0⃗ {Ad→≤0→d→≥0→\begin{cases} A \vec d \le \vec 0 \\ \vec d \ge \vec 0 \end{cases} ，又 d⃗ ≠0⃗ ,d→≠0→, \vec d \neq \vec 0, 则 |d⃗ |>0|d→|>0\vert \vec d\vert \gt 0 ，于是 d′∈S′d′∈S′d' \in S' 。
下面证明： d⃗ ′d→′\vec d' 是 S′S′S' 的一个极点。
若存在 d⃗ 1,d⃗ 2∈S′d→1,d→2∈S′\vec d_1, \vec d_2 \in S' ，则 d⃗ 1,d⃗ 2d→1,d→2\vec d_1, \vec d_2 也是 SSS 的方向。若存在 λ∈R,0<λ<1," role="presentation">λ∈R,0<λ<1,λ∈R,0<λ<1,\lambda \in \mathbb R, 0 \lt \lambda \lt 1, 使得 λd⃗ 1+(1−λ)d⃗ 2=d⃗ ′λd→1+(1−λ)d→2=d→′\lambda \vec d_1 + (1- \lambda ) \vec d_2 = \vec d' ，
则 |d⃗ |λd⃗ 1+|d⃗ |(1−λ)d⃗ 2=|d⃗ |[λd⃗ 1+(1−λ)d⃗ 2]=|d⃗ |d⃗ ′=d⃗ |d→|λd→1+|d→|(1−λ)d→2=|d→|[λd→1+(1−λ)d→2]=|d→|d→′=d→\vert \vec d \vert \lambda \vec d_1 + \vert \vec d \vert (1- \lambda ) \vec d_2 = \vert \vec d \vert \left [\lambda \vec d_1 + (1- \lambda ) \vec d_2 \right ]= \vert \vec d \vert \vec d' = \vec d
由于 |d⃗ |λ>0,|d⃗ |(1−λ)>0,|d→|λ>0,|d→|(1−λ)>0,\vert \vec d \vert \lambda \gt 0, \vert \vec d \vert (1- \lambda) \gt 0, 则 d⃗ d→\vec d 是 d⃗ 1d→1\vec d_1 与 d⃗ 2d→2\vec d_2 的正组合，
由于 d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向，因此 ∃t>0," role="presentation">∃t>0,∃t>0,\exists t \gt 0, 使得 d⃗ 1=td⃗ 2d→1=td→2\vec d_1 = t \vec d_2
于是 t=t|d⃗ 2|=|td⃗ 2|=|d1|=1t=t|d→2|=|td→2|=|d1|=1t = t \vert \vec d_2 \vert = \vert t \vec d_2 \vert = \vert d_1 \vert = 1
则 d⃗ 1=d⃗ 2d→1=d→2\vec d_1 = \vec d_2
因此 d⃗ ′d→′\vec d' 是 S′S′S' 的一个极点。
⇐:⇐:\Leftarrow:
设 d⃗ ′=1|d⃗ |d⃗ d→′=1|d→|d→\vec d' = \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \vec d 是 S′S′S' 的一个极点。由多面集的方向的性质， d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个方向。
下面证明： d→" role="presentation">d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向。
若存在 S" role="presentation">SSS 的方向 d⃗ 1,d⃗ 2,d→1,d→2,\vec d_1, \vec d_2, 则 |d⃗ 1|>0,|d⃗ 2|>0|d→1|>0,|d→2|>0\vert \vec d_1 \vert \gt 0, \vert \vec d_2 \vert \gt 0 。
若存在 λ,μ∈R,λ>0,μ>0,λ,μ∈R,λ>0,μ>0,\lambda, \mu \in \mathbb R, \lambda \gt 0, \mu \gt 0, 使得 λd⃗ 1+μd⃗ 2=d⃗ ,λd→1+μd→2=d→,\lambda \vec d_1 + \mu \vec d_2 = \vec d,
令 d′1=1|d⃗ 1|d⃗ 1,d′2=1|d⃗ 2|d⃗ 2,d1′=1|d→1|d→1,d2′=1|d→2|d→2,d_1' = \dfrac {1} {\vert \vec d_1 \vert} \vec d_1, d_2' = \dfrac {1} {\vert \vec d_2 \vert} \vec d_2, 则 d′1,d′2∈S′d1′,d2′∈S′d_1', d_2' \in S' 且 λ|d⃗ 1|d⃗ ′1+μ|d⃗ 2|d⃗ ′2=d⃗ ,λ|d→1|d→1′+μ|d→2|d→2′=d→,\lambda \vert \vec d_1 \vert \vec d_1' + \mu \vert \vec d_2 \vert \vec d_2'= \vec d,
因此
λ|d⃗ 1||d⃗ |d⃗ ′1+μ|d⃗ 2||d⃗ |d⃗ ′2=1|d⃗ |(λ|d⃗ 1|d⃗ ′1)+1|d⃗ |(μ|d⃗ 2|d⃗ 2)=1|d⃗ |(λ|d⃗ 1|d⃗ ′1+μ|d⃗ 2|d⃗ 2)=1|d⃗ |d⃗ =d⃗ ′λ|d→1||d→|d→1′+μ|d→2||d→|d→2′=1|d→|(λ|d→1|d→1′)+1|d→|(μ|d→2|d→2)=1|d→|(λ|d→1|d→1′+μ|d→2|d→2)=1|d→|d→=d→′\lambda \dfrac{\vert \vec d_1 \vert}{\vert \vec d\vert} \vec d_1' + \mu \dfrac{\vert \vec d_2 \vert}{\vert \vec d\vert} \vec d_2' = \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \left ( \lambda \vert \vec d_1 \vert \vec d_1' \right ) + \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \left ( \mu \vert \vec d_2 \vert \vec d_2 \right )= \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \left ( \lambda \vert \vec d_1 \vert \vec d_1' + \mu \vert \vec d_2 \vert \vec d_2 \right ) = \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \vec d= \vec d'
又 λ|d⃗ 1|+μ|d⃗ 2|=|λd⃗ 1+μd⃗ 2|=|d⃗ |λ|d→1|+μ|d→2|=|λd→1+μd→2|=|d→|\lambda \vert \vec d_1 \vert + \mu \vert \vec d_2 \vert = \vert \lambda \vec d_1 + \mu \vec d_2 \vert = \vert \vec d\vert ，
因此 λ|d⃗ 1||d⃗ |+μ|d⃗ 2||d⃗ |=1|d⃗ |(λ|d⃗ 1|+μ|d⃗ 2|)=1|d⃗ ||d⃗ |=1λ|d→1||d→|+μ|d→2||d→|=1|d→|(λ|d→1|+μ|d→2|)=1|d→||d→|=1\lambda \dfrac{\vert \vec d_1 \vert}{\vert \vec d\vert} + \mu \dfrac{\vert \vec d_2 \vert}{\vert \vec d\vert} = \dfrac{1} {\vert \vec d\vert} \left ( \lambda \vert \vec d_1 \vert + \mu \vert \vec d_2 \vert \right ) = \dfrac{1} {\vert \vec d\vert} \vert \vec d\vert = 1 ，
易知 λ|d⃗ 1||d⃗ |>0,μ|d⃗ 2||d⃗ |>0,λ|d→1||d→|>0,μ|d→2||d→|>0,\lambda \dfrac{\vert \vec d_1 \vert}{\vert \vec d\vert} \gt 0, \mu \dfrac{\vert \vec d_2 \vert}{\vert \vec d\vert} \gt 0,
则 d⃗ ′d→′\vec d' 是d⃗ ′1d→1′\vec d_1' 和d⃗ ′2d→2′\vec d_2' 的凸组合。
由于d⃗ ′d→′\vec d' 是 S′S′S' 的一个极点，则 d⃗ ′1=d⃗ ′2=d⃗ ,d→1′=d→2′=d→,\vec d_1' = \vec d_2' = \vec d, 于是 d⃗ 1d→1\vec d_1 与 d⃗ 2d→2\vec d_2 相同，因此 d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向。

2.2 充分性：

若 S" role="presentation">SSS 有界，则 SSS 没有方向，因此 S" role="presentation">SSS 没有极方向。

2.3 必要性：

假设 SSS 无界，因为 S" role="presentation">SSS 是凸集，也是闭集，由于有限维实线性空间上的无界的闭凸集必有方向，因此 SSS 必有方向。
由多面集的方向的性质，
方程组 {AX≤0→X≥0→" role="presentation">{AX≤0⃗ X≥0⃗ {AX≤0→X≥0→\begin{cases} AX \le \vec 0 \\ X \ge \vec 0 \end{cases} 有非零解。于是方程组 ⎧⎩⎨⎪⎪AX≤0⃗ X≥0⃗ 1⃗ 1×nX=1{AX≤0→X≥0→1→1×nX=1\begin{cases} AX \le \vec 0 \\ X \ge \vec 0 \\ {\vec 1}_{1 \times n} X = 1 \end{cases} 有解。则 S′S′S' 非空，由结论1得， S′S′S' 至少有一个极点，不妨设为 d⃗ d→\vec d ，由引理， d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向。这与 S" role="presentation">SSS 没有极方向矛盾，因此 SSS 有界。

3. S" role="presentation">SSS 的不同的极方向的数量有限

由引理 2.12.12.1 ，对于任意一个d⃗ ∈Rnd→∈Rn\vec d \in \mathbb R ^{n} ， d⃗ d→\vec d 是 SSS 的一个极方向当且仅当 d→′=1|d→|d→" role="presentation">d⃗ ′=1|d⃗ |d⃗ d→′=1|d→|d→\vec d' = \dfrac {1} {\vert \vec d\vert} \vec d 是 S′S′S' 的一个极点。
因此 SSS 的任意的一个相同极方向的集合与 S′" role="presentation">S′S′S' 的一个极点一一对应。
若 S′S′S' 为空集，则 SSS 没有极方向。否则 S′" role="presentation">S′S′S' 非空，由结论1，多面集 S′S′S' 的极点的数量有限。因此，SSS 的不同的极方向的数量有限。

4. 表示定理

4.1 充分性：

∀X∈Rn" role="presentation">∀X∈Rn∀X∈Rn\forall X \in \mathbb R^n ，若存在集合
{λi∈R:∑i=1kλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k}{λi∈R:∑i=1kλi=1,λi≥0,i∈N,1≤i≤k}\{ \lambda_i \in \mathbb R: \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i = 1, \lambda_i \ge 0, i \in \mathbb N, 1 \le i \le k \} 与 {μi∈R:μi≥0,i∈N,1≤i≤l}{μi∈R:μi≥0,i∈N,1≤i≤l}\{ \mu_i \in \mathbb R: \mu_i \ge 0, i \in \mathbb N, 1 \le i \le l \} ，
使得： X=∑i=1kλiXi+∑i=1lμid⃗ i,X=∑i=1kλiXi+∑i=1lμid→i,X = \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i X_i + \sum \limits_{i = 1} ^{l} \mu_i \vec d_i ,
则 CX=∑i=1kλiCXi+∑i=1lμiC⃗ di≤∑i=1kλib′=b′CX=∑i=1kλiCXi+∑i=1lμiC→di≤∑i=1kλib′=b′CX = \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i C X_i + \sum \limits_{i = 1} ^{l} \mu_i \vec C d_i \le \sum \limits_{i = 1} ^{k} \lambda_i b' = b' ，
因此 X∈SX∈SX \in S

4.2 必要性：

见多面集的表示定理的必要性的证明

参考

Linear Programming and Network Flows 4th Edition