3GPP SCM信道的角度域表示

H(t)=∑l=1L∑m=1Mlαl,mar(θl+Δθl,m)atH(φl+Δφl,m)δ(t−τl−Δτl,m)\mathbf{H}(t)=\sum_{l=1}^{L} \sum_{m=1}^{M_{l}} \alpha_{l, m} \mathbf{a}_{r}\left(\theta_{l}+\Delta \theta_{l, m}\right) \mathbf{a}_{t}^{H}\left(\varphi_{l}+\Delta \varphi_{l, m}\right) \delta\left(t-\tau_{l}-\Delta \tau_{l, m}\right) H(t)=l=1∑Lm=1∑Mlαl,mar(θl+Δθl,m)atH(φl+Δφl,m)δ(t−τl−Δτl,m)

其中各参数的物理含义为

参数	含义
LLL	信号的簇数
MlM_lMl	第 lll 簇中的信号径数
αl,m\alpha_{l,m}αl,m	第 lll 簇第 mmm 径的信道增益
θl\theta_lθl	第 lll 簇的参考到达角
Δθl,m\Delta \theta_{l,m}Δθl,m	第 lll 簇第 mmm 径信号到达角相对于第 lll 簇的参考到达角的增量
φl\varphi_lφl	第 lll 簇的参考离开角
Δφl,m\Delta \varphi_{l,m}Δφl,m	第 lll 簇第 mmm 径信号离开角相对于第 lll 簇的参考离开角的增量
τl\tau_lτl	第 lll 簇的参考信号时延
Δτl,m\Delta \tau_{l,m}Δτl,m	第 lll 簇第 mmm 径信号时延相对于第 lll 簇的参考时延的增量

ar\mathbf{a}_{r}ar为接收端（终端）的导引矢量，at\mathbf{a}_{t}at为发射端（基站）的导引矢量，均假设基站端和终端的多天线均为均为线性阵（Uniform Linear Array, ULA）排列。当接收端天线数为NrN_rNr，天线间隔为drd_rdr，信号波长为λ\lambdaλ且到达角为θ\thetaθ时，导引向量
ar(θ)=[1e−j2πdrsin⁡(θ)/λ…e−j2π(Nr−1)drsin⁡(θ)/λ]T\mathbf{a}_{r}(\theta)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j 2 \pi d_{r} \sin (\theta) / \lambda} & \ldots & e^{-j 2 \pi\left(N_{r}-1\right) d_{r} \sin (\theta) / \lambda} \end{array}\right]^{T} ar(θ)=[1e−j2πdrsin(θ)/λ…e−j2π(Nr−1)drsin(θ)/λ]T
当发送端天线数为NtN_tNt，天线间隔为dtd_tdt，信号波长为λ\lambdaλ且离开角为φ\varphiφ时，导引向量
at(φ)=[1e−j2πdtsin⁡(φ)/λ…e−j2π(Nt−1)dtsin⁡(φ)/λ]T\mathbf{a}_{t}(\varphi)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j 2 \pi d_{t} \sin (\varphi) / \lambda} & \ldots & e^{-j 2 \pi\left(N_{t}-1\right) d_{t} \sin (\varphi) / \lambda} \end{array}\right]^{T} at(φ)=[1e−j2πdtsin(φ)/λ…e−j2π(Nt−1)dtsin(φ)/λ]T

SCM信道模型在UPA下的推广

在均匀平面阵（Uniform Planar Array, UPA）设置下，发送端的离开角（AoD）和接收端的到达角（AoA）需要用方位角（azimuth angle）和仰角（elevation angle）同时确定。

对于接收端，假定UPA处于yz-平面，沿y和z方向各有NryN_{ry}Nry和NrzN_{rz}Nrz个天线，即Nr=Nry×NrzN_r=N_{ry}\times N_{rz}Nr=Nry×Nrz，沿y方向和z方向的天线间隔分别为dryd_{ry}dry和drzd_{rz}drz，信号波长为λ\lambdaλ，方位角为θr\theta_rθr，仰角为ϕr\phi_rϕr。则
ar=ary⊗arz(4)\mathbf{a}_r=\mathbf{a}_{ry}\otimes \mathbf{a}_{rz}\tag{4} ar=ary⊗arz(4)

为了明确起见，对方位角和仰角进一步定义如下：

方位角为某条径的信号在xy-平面投影与x轴的夹角，范围为[−π,π)[-\pi, \pi)[−π,π)

仰角为某条径的信号与xy-平面的夹角，范围为[−π2,π2)[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})[−2π,2π)

由几何关系可知，y方向上，相邻天线上信号的路程差为drycos⁡(ϕr)sin⁡(θr)d_{ry}\cos(\phi_r)\sin(\theta_r)drycos(ϕr)sin(θr)（三余弦定理）；z方向上，相邻天线上信号的路程差为drzsin⁡(ϕr)d_{rz}\sin(\phi_r)drzsin(ϕr)，所以有
ary(θr,ϕr)=[1e−j2πdrycos⁡(ϕr)sin⁡(θr)/λ…e−j2π(Nry−1)drycos⁡(ϕr)sin⁡(θr)/λ]T\mathbf{a}_{ry}(\theta_r,\phi_r)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j 2 \pi d_{ry}\cos(\phi_r)\sin(\theta_r) / \lambda} & \ldots & e^{-j 2 \pi\left(N_{ry}-1\right) d_{ry}\cos(\phi_r)\sin(\theta_r) / \lambda} \end{array}\right]^{T} ary(θr,ϕr)=[1e−j2πdrycos(ϕr)sin(θr)/λ…e−j2π(Nry−1)drycos(ϕr)sin(θr)/λ]T

arz(θr,ϕr)=[1e−j2πdrzsin⁡(ϕr)/λ…e−j2π(Nrz−1)drzsin⁡(ϕr)/λ]T\mathbf{a}_{rz}(\theta_r,\phi_r)=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j 2 \pi d_{rz}\sin(\phi_r) / \lambda} & \ldots & e^{-j 2 \pi\left(N_{rz}-1\right) d_{rz}\sin(\phi_r) / \lambda} \end{array}\right]^{T} arz(θr,ϕr)=[1e−j2πdrzsin(ϕr)/λ…e−j2π(Nrz−1)drzsin(ϕr)/λ]T

于是仿照ULA下的SCM表达式，可以得到在UPA下，3GPP SCM信道的角度域表示如下
H(t)=∑l=1L∑m=1Mlαl,mar(θr,l+Δθr,l,m,ϕr,l+Δϕr,l,m)atH(θt,l+Δθt,l,m,ϕt,l+Δϕt,l,m)δ(t−τl−Δτl,m)\mathbf{H}(t)=\sum_{l=1}^{L} \sum_{m=1}^{M_{l}} \alpha_{l, m} \mathbf{a}_{r}\left(\theta_{r,l}+\Delta \theta_{r,l,m},\phi_{r,l}+\Delta \phi_{r,l,m}\right) \mathbf{a}_{t}^{H}\left(\theta_{t,l}+\Delta \theta_{t,l,m},\phi_{t,l}+\Delta \phi_{t,l,m}\right) \delta\left(t-\tau_{l}-\Delta \tau_{l, m}\right) H(t)=l=1∑Lm=1∑Mlαl,mar(θr,l+Δθr,l,m,ϕr,l+Δϕr,l,m)atH(θt,l+Δθt,l,m,ϕt,l+Δϕt,l,m)δ(t−τl−Δτl,m)
上式中的ar\mathbf{a}_rar和at\mathbf{a}_tat按照公式(4)~(6)进行计算，对其中几个角度参数进行说明如下：

θr,l\theta_{r,l}θr,l：第lll簇在接收端的参考到达方位角
Δθr,l,m\Delta \theta_{r,l,m}Δθr,l,m：第lll簇中第mmm径在接收端相对于参考到达方位角的增量
ϕr,l\phi_{r,l}ϕr,l：第lll簇在接收端的参考到达仰角
Δϕr,l,m\Delta \phi_{r,l,m}Δϕr,l,m：第lll簇中第mmm径在接收端相对于参考到达仰角的增量

脚标为ttt的对应发射端相对应的离开角，其他参数含义同前面的表格。

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