写在前面

高三数学中有几类比较特殊的分段函数，它们的图像画法很特殊，特做以收集整理。其中需要注意的是，分段函数的分支\(f(x)=f(x+k)\)和\(f(x)=f(x)+k\)和\(f(x)=af(x+k)\)的图像的做法。

周期性+左右平移

例1【2016凤中模拟】【分段函数，函数的周期性】

已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x) =\begin{cases}2^{-x}-1， &x\leq 0 \\f(x-1) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)有两个不同实根，求\(a\)的取值范围\((-\infty，1)\)。

分析：本题目的解题思想是数形结合，这一点倒不是很难，都能想到在同一个坐标系中做出分段函数\(y=f(x)\)和函数\(y=x+a(a是动态的)\)，

关键是怎么做出分段函数\(f(x)\)的图像？ 我们这样分析，

分段函数的第一段图像我们应该能做出来，利用函数图像变换作图法，就可以了。

先做函数\(y=2^x\)，再做函数\(y=2^{-x}\)，再做函数\(y=2^{-x}-1\)，在此基础上截取\(x\leq 0\)，这样第一段函数的图像就做出来了。

第二段函数图像的关系是\(f(x)=f(x-1)(x>0)，\)意味着我们只需要将刚才做出来的第一段函数图像向右平移一个单位，

平移后只截取\((0，1]\)段，这样就得到了\((0，1]\)上的函数图像，

那么\((1，2]\)上的函数图像怎么做呢？此时只需要以\((0，1]\)段上的函数图像为蓝本，平移一个单位就得到了\((1，2]\)上的函数图像。

再以此类推，分别得到\((2，3]\)、\((3，4] 、\cdots\)上的函数图像，所以分段函数\(f(x)\)的图像如蓝色所示。

函数\(y=x+a\)的图像如图中的红色所示，注意其斜率\(k=1\)，\(y\)截距\(a\)是变化的，由图能很容易看出来，

要使蓝色的图形和红色的图形有两个交点，只需\(a<1\)即可。故\(a\)的取值范围\((-\infty，1)\)。

感悟反思：1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；

2、分段函数的图像做法；

3、分段函数中只包含周期性的图像做法；

4、手工作图验证图像做法：【作图工具：Geogebra】利用周期性得到函数每段上的解析式，然后分段作图。

如\(f(x) = \begin{cases}2^{-x}-1 &x\leq 0\\ 2^{1-x}-1 &0< x \leq 1 \\ 2^{2-x}-1 &1< x\leq 2 \\ 2^{3-x}-1 &2< x\leq 3 \\ 2^{4-x}-1 &3< x\leq 4\end{cases}\)，

周期性+横轴伸缩

暂无例题。

周期性+纵轴平移

例3【同时涉及平移和周期】

函数\(f(x) = \begin{cases}x^2 &0\leq x\leq 1 \\ f(x-1)+1 &x>1 \end{cases}\)，求作函数图像。

分析：图像如下，

周期性+纵轴伸缩

例4【2016凤中模拟】

已知函数\(f(x)=\begin{cases}1-|x+1|，&-2\leq x\leq 0 \\ 2f(x-2) ，&x>0 \end{cases}\)，若方程\(f(x)=x+a\)在区间\([-2，4]\)内有三个不同实根，求\(a\)的取值范围(\(-2

思路：在同一个坐标系中做出分段函数\(y=f(x)(x\in[-2，4])\)和函数\(y=x+a\)(\(a\)是动态的)，

利用数形结合求解。 关键是怎么做出分段函数\(f(x)\)的图像？

先做出\(x\in[-2，0]\)上的函数\(f(x)=1-|x+1|\)的图像， 具体可以这样做，

\(|x|\longrightarrow|x+1|\longrightarrow-|x+1|\longrightarrow1-|x+1|\)，再截取得到\(x\in[-2，0]\)上的图像即可。

难点是第二段\(f(x)=2f(x-2)(x>0)，\)此时我们可以这样理解，

这样的效果是由\(f(x)=f(x-2)(周期变换)\)和\(y=2f(x)(振幅变换)\)叠加而成的，

因此我们可以将\(x\in[-2，0]\)上的函数\(f(x)=1-|x+1|\)的图像先向右平移2个单位，

然后再将纵坐标扩大2倍， 这样就得到了\(x\in[0，2]\)上的函数图像；

再将\(x\in[0，2]\)上的函数图像先向右平移2个单位，然后再将纵坐标扩大2倍，

这样就得到了\(x\in[2，4]\)上的函数图像；整个\(x\in[-2，4]\)上的函数图像如右图的橘黄色部分所示；

函数\(y=x+a(a动态)\)的图像如图中的绿色直线所示，让这条绿色的直线沿\(y\)轴平行移动，

根据两个图像有三个交点，就可以得到\(a\)的取值范围(\(-2