例题三
- 例7 已知向量组I:α1=(1,1,4)T,α2=(1,0,4)T,α3=(1,2,a2+3)T,II:β1=(1,1,a+3)T,β2=(0,2,1−a)T,β3=(1,3,a2+3)TI:\bm{\alpha}_1=(1,1,4)^\mathrm{T},\bm{\alpha}_2=(1,0,4)^\mathrm{T},\bm{\alpha}_3=(1,2,a^2+3)^\mathrm{T},II:\bm{\beta}_1=(1,1,a+3)^\mathrm{T},\bm{\beta}_2=(0,2,1-a)^\mathrm{T},\bm{\beta}_3=(1,3,a^2+3)^\mathrm{T}I:α1=(1,1,4)T,α2=(1,0,4)T,α3=(1,2,a2+3)T,II:β1=(1,1,a+3)T,β2=(0,2,1−a)T,β3=(1,3,a2+3)T。若向量组III与IIIIII等价，求aaa的取值，并将β3\bm{\beta}_3β3用α1,α2,α3\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3α1,α2,α3线性表示。
- 例13 如果向量β\bm{\beta}β可以由α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性无关。
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例题三

例7 已知向量组I:α1=(1,1,4)T,α2=(1,0,4)T,α3=(1,2,a2+3)T,II:β1=(1,1,a+3)T,β2=(0,2,1−a)T,β3=(1,3,a2+3)TI:\bm{\alpha}_1=(1,1,4)^\mathrm{T},\bm{\alpha}_2=(1,0,4)^\mathrm{T},\bm{\alpha}_3=(1,2,a^2+3)^\mathrm{T},II:\bm{\beta}_1=(1,1,a+3)^\mathrm{T},\bm{\beta}_2=(0,2,1-a)^\mathrm{T},\bm{\beta}_3=(1,3,a^2+3)^\mathrm{T}I:α1=(1,1,4)T,α2=(1,0,4)T,α3=(1,2,a2+3)T,II:β1=(1,1,a+3)T,β2=(0,2,1−a)T,β3=(1,3,a2+3)T。若向量组III与IIIIII等价，求aaa的取值，并将β3\bm{\beta}_3β3用α1,α2,α3\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3α1,α2,α3线性表示。

解对(α1,α2,α3∣β1,β2,β3)(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3|\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)(α1,α2,α3∣β1,β2,β3)作初等行变换，由
[α1,α2,α3∣β1,β2,β3]=[11110244a2+3101123a+31−aa2+3]→[1110−1100a2−1101022a+11−aa2−1].\begin{aligned} [\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3|\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3]&=\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&1&1\\1&0&2\\4&4&a^2+3\end{matrix}&\begin{matrix}1&0&1\\1&2&3\\a+3&1-a&a^2+3\end{matrix}\end{array}\right]\\ &\rightarrow\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&a^2-1\end{matrix}&\begin{matrix}1&0&1\\0&2&2\\a+1&1-a&a^2-1\end{matrix}\end{array}\right]. \end{aligned} [α1,α2,α3∣β1,β2,β3]=⎣⎡11410412a2+311a+3021−a13a2+3⎦⎤→⎣⎡1001−1011a2−110a+1021−a12a2−1⎦⎤.
当x≠±1x\ne\pm1x=±1时，r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=r(β1,β2,β3)=3r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3)=r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)=r(\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)=3r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=r(β1,β2,β3)=3，向量组(I)(I)(I)与(II)(II)(II)等价。
当a=1a=1a=1时，r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=r(β1,β2,β3)=2r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3)=r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)=r(\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)=2r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=r(β1,β2,β3)=2，向量组(I)(I)(I)与(II)(II)(II)等价。
当a=−1a=-1a=−1时，r(α1,α2,α3)=2,r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)3r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3)=2,r(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3)3r(α1,α2,α3)=2,r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)3，向量组(I)(I)(I)与(II)(II)(II)不等价。
所以当a≠−1a\ne-1a=−1时，向量组(I)(I)(I)与(II)(II)(II)等价。
当a≠±1a\ne\pm1a=±1时，对方程组x1α1+x2α2+x3α3=β3x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+x_3\bm{\alpha}_3=\bm{\beta}_3x1α1+x2α2+x3α3=β3，有[α1,α2,α3,β3]=[1110−1100a2−112a2−1]→[1000100011−11][\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\bm{\beta}_3]=\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&a^2-1\end{matrix}&\begin{matrix}1\\2\\a^2-1\end{matrix}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}&\begin{matrix}1\\-1\\1\end{matrix}\end{array}\right][α1,α2,α3,β3]=⎣⎡1001−1011a2−112a2−1⎦⎤→⎣⎡1000100011−11⎦⎤，方程组有唯一解(1,−1,1)T(1,-1,1)^\mathrm{T}(1,−1,1)T，故β3=α1−α2+α3\bm{\beta}_3=\bm{\alpha}_1-\bm{\alpha}_2+\bm{\alpha}_3β3=α1−α2+α3。
当a=1a=1a=1时，对方程组x1α1+x2α2+x3α3=β3x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+x_3\bm{\alpha}_3=\bm{\beta}_3x1α1+x2α2+x3α3=β3，有[α1,α2,α3,β3]=[1110−11000120]→[10201−10003−20][\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\bm{\beta}_3]=\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&0\end{matrix}&\begin{matrix}1\\2\\0\end{matrix}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&0&2\\0&1&-1\\0&0&0\end{matrix}&\begin{matrix}3\\-2\\0\end{matrix}\end{array}\right][α1,α2,α3,β3]=⎣⎡1001−10110120⎦⎤→⎣⎡1000102−103−20⎦⎤，方程组通解：(3,−2,0)T+k(−2,1,1)T(3,-2,0)^\mathrm{T}+k(-2,1,1)^\mathrm{T}(3,−2,0)T+k(−2,1,1)T，kkk为任意常数。故β3=(3−2k)α1+(−2+k)α2+kα3\bm{\beta}_3=(3-2k)\bm{\alpha}_1+(-2+k)\bm{\alpha}_2+k\bm{\alpha}_3β3=(3−2k)α1+(−2+k)α2+kα3，kkk为任意常数。（这道题主要利用了增广矩阵求解）

例13 如果向量β\bm{\beta}β可以由α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性表示，证明：表示法唯一的充分必要条件是α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性无关。

证如果α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性相关，则存在不全为000的数，使l1α1+l2α2+⋯+lsαs=0l_1\bm{\alpha}_1+l_2\bm{\alpha}_2+\cdots+l_s\bm{\alpha}_s=\bm{0}l1α1+l2α2+⋯+lsαs=0。因已知β\bm{\beta}β可由α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性表出，设β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs\bm{\beta}= k_1\bm{\alpha}_1+k_2\bm{\alpha}_2+\cdots+k_s\bm{\alpha}_sβ=k1α1+k2α2+⋯+ksαs。两式相加，可得到β=(k1+l1)α1+(k2+l2)α2+⋯+(ks+ls)αs\bm{\beta}= (k_1+l_1)\bm{\alpha}_1+(k_2+l_2)\bm{\alpha}_2+\cdots+(k_s+l_s)\bm{\alpha}_sβ=(k1+l1)α1+(k2+l2)α2+⋯+(ks+ls)αs。由于lil_ili不全为000，故k1+l1,k2+l2,⋯,ks+lsk_1+l_1,k_2+l_2,\cdots,k_s+l_sk1+l1,k2+l2,⋯,ks+ls与k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1,k2,⋯,ks是两组不同的数，即β\bm{\beta}β有两种不同的表示法，与已知矛盾。
若β\bm{\beta}β有两种不同的表达式，设为β=x1α1+x2α2+⋯+xsαs,β=y1α1+y2α2+⋯+ysαs\bm{\beta}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\cdots+x_s\bm{\alpha}_s,\bm{\beta}=y_1\bm{\alpha}_1+y_2\bm{\alpha}_2+\cdots+y_s\bm{\alpha}_sβ=x1α1+x2α2+⋯+xsαs,β=y1α1+y2α2+⋯+ysαs。两式相减，得(x1−y1)α1+(x2−y2)α2+⋯+(xs−ys)αs=0(x_1-y_1)\bm{\alpha}_1+(x_2-y_2)\bm{\alpha}_2+\cdots+(x_s-y_s)\bm{\alpha}_s=\bm{0}(x1−y1)α1+(x2−y2)α2+⋯+(xs−ys)αs=0，由于x1−y1,x2−y2,⋯,xs−ysx_1-y_1,x_2-y_2,\cdots,x_s-y_sx1−y1,x2−y2,⋯,xs−ys不全为000，得α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性相关，与已知矛盾。（这道题主要利用了反证法求解）

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