正文

TURING讲过了（不得不说，BRAINF对得起它的全称），当然，那是我自己加的，现在，才是Knuth的官方解释

一个计算方法是一个四元组 (Q,I,Ω,f){ \left( {Q,I,Ω,f} \right) }(Q,I,Ω,f)

有以下要求：
I∈QΩ∈Q{I \in Q\text{ }Ω \in Q}I∈Q Ω∈Q
q∈Qf(q)∈Q{q \in Q\text{ }f{( {q} ) } \in Q}q∈Q f(q)∈Q
r∈Ωf(r)∈Ω{r \in Ω\text{ }f{ ( {r} ) } \in Ω}r∈Ω f(r)∈Ω
其中q，r是任意满足条件的元素

有了这个四元组，一个计算方法就像这样——

Ω algorithm(I arg){Q tmp=arg;while(tmp∉Ω){tmp=f(tmp);}return tmp;
}

那么欧几里得算法的四元组是什么呢？是这样的：

//下面m,n,o表示任何非负整数

//r表示正整数

f({m,n})={m,n,0,1}f(\{m,n\})=\{m,n,0,1\}f({m,n})={m,n,0,1}

f({m,n,r,1})={m,n,mf(\{m,n,r,1\})=\{m,n,m%n,2\}f({m,n,r,1})={m,n,m

f({m,n,0,2})=nf(\{m,n,0,2\})=nf({m,n,0,2})=n//condition

f({m,n,o,2})={m,n,o,3}f(\{m,n,o,2\})=\{m,n,o,3\}f({m,n,o,2})={m,n,o,3}//是opq的o，不是0

f({m,n,r,3})={m,r,r,1}f(\{m,n,r,3\})=\{m,r,r,1\}f({m,n,r,3})={m,r,r,1}//while

I≡{m,n}I\equiv\{m,n\}I≡{m,n}

Q≡{m,n}∪{m,n,r,14}∪rQ\equiv\{m,n\}\cup\{m,n,r,1\text{~}4\}\cup rQ≡{m,n}∪{m,n,r,1 4}∪r

Ω≡rΩ\equiv rΩ≡r

BUT

我们忘了一件重要的事——有效性。

比如说，这样一个方案是不行的

f(m,n=gcd(m,n))f({m,n}=gcd(m,n))f(m,n=gcd(m,n))

f(r)=rf(r)=rf(r)=r

I={m,n}I=\{m,n\}I={m,n}

Ω=rΩ=rΩ=r

Q=I∪ΩQ=I\cupΩQ=I∪Ω

emmm，你看出来了吧。

这里的f就是无效的，所以他不足以称为“算法（计算方法）”

于是，Knuth给出了一个奇葩的模板——

A是字符集（如ASCII），

A*是所有A中的字符组成的字符串。

于是，模板长这样——

I≡Q≡Ω≡{A∗,i}I\equiv Q\equiv Ω\equiv \{A*,i\}I≡Q≡Ω≡{A∗,i}

a,b是整数集 os,ns是A*的子集,它们都是有序集,s是整数

fff长这样

Algorithm A-刚刚的算法模板中的函数f
A1.Found 在ArgStr（f（xx，ii）的xx）中查找第一个os[ii]//使用KMP算法
A2.Switch 如果查找成功，执行A3，不然执行A4
A3.Change 将在xx中找出的第一个os[ii]改为ns[ii]，然后返回{xx，b[ii]}
A4.jmp 返回{xx,a[ii]}||||||||||||||||||||||黑色重线|||||||||||||||||||||||||

做题啦！

Q1：将{a，b，c，d}修改顺序，借助t，变为{b，c，d，a}要求→\to→的次数最少

Answer：a→t,b→a,c→b,d→c,t→da\to t,b\to a,c\to b,d\to c,t\to da→t,b→a,c→b,d→c,t→d

Q2:证明：除首次调用外，每次m都大于n

Answer：设上次的m，n为m’,n’,则m=n’,n=m’%n’无论m’n’是什么

m’%n’<n’

Q3:编写一个基于ALGORITHM E的算法，但不能使用单独的→\to→

Answer:

Algorithm F:Q3的答案
F1.mod n=n%m
F2.condition if(n=0)，则结果为m
F3.mod m=m%n
F4.condition if(m=0),则结果为n,Otherwise goto F1.

Q4. 2166和6099的GCD是几？

A4.用Algorithm E算一算

(2166,6099)

=(6099,2166)

=(2166,1767)

=(1767,0399)

=(0399,0171)

=(0171,0057)

=57

注：（a，b）=a和b的最大公约数

结果为57

Q5.《本书阅读方法》和算法有什么差别？

1.DEAD WHILE

这里面要求你读完一遍再读一遍，无限循环（第一条有穷性不满足）

2.有一百个读者，就有一百个哈姆雷特

第二条不满足

3.一脸懵逼的读者

如果读者是个SB，那么就不Effectiveness了

4.知识算不算输出？

FORMAT（原著中要求把FORMAT上的问题也写出来）……CODE REVIEW一下就好

Q6.当n=5，m<=n是，E1平均会被执行几次？

A6.1.8(自己算去吧)

Q7：无趣的QUS（跳过）

Q8.用上面的模板写一个ALGORITHM E

假定输入为m个a+n个b

抄高德纳答案

Line No.	os	ns	a	b
1.	ab		3	2
2.		c	err	1
3.	a	b	4	3
4.	b	b	return	5
5.	c	a	1	5

Q9.给出上述模板（I,Q,Ω,fI,Q,Ω,fI,Q,Ω,f）中“实现”的定义

——算法(I1,Q1,Ω1,f1)(I\mathop{}\nolimits_{1},Q\mathop{}\nolimits_{1},Ω\mathop{}\nolimits_{1},f\mathop{}\nolimits_{1})(I1,Q1,Ω1,f1)是否实现了(I2,Q2,Ω2,f2)(I\mathop{}\nolimits_{2},Q\mathop{}\nolimits_{2},Ω\mathop{}\nolimits_{2},f\mathop{}\nolimits_{2})(I2,Q2,Ω2,f2)

继续抄高德纳答案

有函数

I1in(I2);I\mathop{}\nolimits_{1}\text{ }in\text{ }(I\mathop{}\nolimits_{2});I1 in (I2);

Q2resp(Q1);Q\mathop{}\nolimits_{2}\text{ }resp\text{ }(Q\mathop{}\nolimits_{1});Q2 resp (Q1);

uintstep(Q1);uint\text{ }step\text{ }(Q\mathop{}\nolimits_{1});uint step (Q1);

满足

I2=resp(I1)\mathop{I}\nolimits_{2}=resp(\mathop{I}\nolimits_{1})I2=resp(I1)

Q2=resp(Q1)\mathop{Q}\nolimits_{2}=resp(\mathop{Q}\nolimits_{1})Q2=resp(Q1)

Ω2=resp(Ω1)\mathop{Ω}\nolimits_{2}=resp(\mathop{Ω}\nolimits_{1})Ω2=resp(Ω1)

resp(in(I))=I,I∈I2resp(in(I))=I,I\in I\mathop{}\nolimits_{2}resp(in(I))=I,I∈I2

f2(resp(Q))=f1step(Q)Q∈Q1\mathop{f}\nolimits_{2}(resp(Q))=\mathop{f}\nolimits_{1}\nolimits^{step(Q)}\text{ }Q\in\mathop{Q}\nolimits_{1}f2(resp(Q))=f1step(Q) Q∈Q1

咳咳，他们的含义是这样的：

Q1\mathop{Q}\nolimits_{1}Q1指计算机内存的所有可能状态

f1\mathop{f}\nolimits_{1}f1指计算机执行一条指令

ininin指将输入输进计算机后计算机的状态。

I1\mathop{I}\nolimits_{1}I1指计算机接收到输入后可能的状态

resprespresp指计算机的状态对应的源算法的状态

stepstepstep指执行到原算法下一步还需要多少条COMMAND

OK，SEE YOU NEXT TIME

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