二维随机变量期望公式_多维随机变量的特征数

学习不易，把知识点讲清楚更是难上加难……

这一节是将特征数从一维推广到多维的情况。（一维的还没写，如果有时间以后会补充）。先给出理论知识，最后给出一些习题及解答。

多维随机变量（函数）的数学期望和方差

若二维随机变量

的分布用联合分布列

或用联合密度函数

表示，下面讨论：

1.多维随机变量的数学期望和方差

在离散场合：

的数学期望

的方差：

同样可给出

的数学期望和方差。

在连续场合：

的数学期望

的方差：

同样可给出

的数学期望和方差。

2.多维随机变量函数的数学期望和方差

随机变量

的数学期望为：（这里假设涉及到的数学期望都存在）

数学期望与方差的运算性质

对于任意的随机变量

：

这个结论很强，对于随机变量间的关系没有任何要求。可简单地叙述为和的期望等于期望的和，可以推广到有限的

维的情形：

若随机变量

独立（可减弱为不相关，后面会解释），则：

这个结论亦可推广到有限的

维的情形：若

相互独立，则

若随机变量

独立（可减弱为不相关），对于任意常数

，有：

该性质只对方差成立，对标准差不成立，标准差应这样计算：

该性质亦可推广到有限的

维的情形：若

相互独立，则对于任意常数列

和任意常数

，有：

这说明对于独立随机变量来说，它们之间无论是相加或是相减，其方差只增不减。

特别地，

个方差均为

独立同分布的随机变量

，其算术平均值的方差：

这说明若对某个物理量进行测量，可用

次独立重复测量的平均值来提高测量的精度。

协方差(Covariance)

定义随机变量

的

协方差（或称相关中心矩）如下：

若取

，则

。可以看出方差是协方差的特殊情况。我们知道，随机变量：

被称为随机变量

的

中心化随机变量（该随机变量表示

的每一个取值与

的差），因而

的协方差

。这也是

相关中心矩的名称的由来。

我们规定，当

时，称

正相关；当

时，称

负相关；当

时，称

不相关。这里随机变量间的相关性与随机变量间的独立性有相通之处，即都是从严格的数学定义出发的，而非凭借我们的直观印象。

协方差和方差的性质

对于任意的随机变量

和任意常数

：

这个性质的证明很简单。协方差的本质是数学期望，只需按照数学期望的性质将左式展开即可：

若取

，这个性质也说明(3)和(5)的条件为何可减弱为不相关，下面这个性质揭示了其本质原因：

若

独立，则

不相关，反之不然。即由独立可推出不相关，但由不相关不能推出独立。即“独立”是比“不相关”更强的一个概念：

这是因为若

独立，则有：

按照式(11)

从而说明

不相关。

3.协方差与次序无关：

4.任意随机变量与常数的协方差为

：

5.对于任意的随机变量

和任意常数

：

6.对于任意随机变量

：

7.对于任意的随机变量

和任意常数

：

证明从略。这个性质可推广到有限的

维的情形。对于任意的

个随机变量

和任意常数列

和任意常数

：

这里相比(7)虽然条件减弱了，但是结论却复杂了，体现着数学的守恒的美感。

这里有别于数学期望的线性性质，关于多维随机变量的方差，除了将涉及到的随机变量的方差的加起来之外，还要加上随机变量两两之间的协方差。

（线性）相关系数（(Linear) Correlation Coefficient）

若随机变量

的方差非零，定义二维随机变量

的

（线性）相关系数（以下简称相关系数）：

因标准差大于零，因而相关系数

与协方差

同号，因而从相关系数的符号也可看出两随机变量的相关性（正相关、负相关、不相关）。

类似用“中心化随机变量乘积的数学期望”来解释协方差，相关系数可用“标准化随机变量的协方差”来解释：

设

分别为相应的随机变量的数学期望和方差，均为常数。引入标准化随机变量：

则：

Schwarz不等式

证明：

1.当

时，

几乎处处为常数，因而其与

的协方差为零。不等式成立。

2.当

时，考虑关于

的二次函数：

因

非负，从而判别式非正：

化简后即得(21)

利用Schwarz不等式可得到：

此即说明相关系数有界。

性质

的充要条件是

之间几乎处处有

线性关系，即存在常数

，使得：

当

时，我们称

线性正相关；当

时，我们称

线性负相关。

越接近1，它们之间的线性相关程度越高；

越接近0，它们之间的线性相关程度越低。

但是要注意的是，由

说明的“

不相关”仅仅表示

不具有线性关系，但可能具有其他的函数关系（如平方关系、指数关系、对数关系等）。同时也要说明，相关系数比协方差更能反映两随机变量的线性相关程度，因相关系数考虑了两随机变量的标准差，而协方差没有。

随机向量、协方差矩阵

记

维随机向量：

其每一个分量均为一个随机变量。以下假设所涉及到的量都存在。

定义随机向量的数学期望：

定义随机向量的协方差矩阵：

结论：协方差阵是非负定的对称阵。（证明从略）

以上是理论部分，下面给出几个例题：

e.g.1

求掷

颗骰子，点数之和的数学期望和方差。

解：

每颗骰子的点数

独立同分布，

。设点数之和为

。则：

e.g.2

从数字

中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解：

记

分别为两次取到的数字，则：

则所求数学期望：

e.g.3

设

独立同分布于

，试证：

证明：

的联合密度函数为：

从而：

e.g.4

将一枚硬币重复投掷

次，以

分别表示正面向上和反面向上的次数，求

的协方差和相关系数。

解：

因

，且

，故：

e.g.5

已知随机变量

的相关系数为

，求

与

的相关系数，其中

均为非零的正常数。

解：

这个例题说明相关系数对伸缩变换和平移不敏感，最多只是改变符号。

e.g.6

设随机向量

的相关系数分别为

，证明：

证明：

记标准化变量为：

因：

则：

从而

的协方差阵的行列式为：

再由协方差的非负定性：

移项即得：

“计数器”的应用

e.g.7

在区间

上随机地取

个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望。

方法一：

个点将区间

分为

个小区间，记它们的长度为随机变量

。

因这些点是随机选取的，故

同分布，因而具有相同的数学期望，且

。则：

而相距最远的两点间的距离为：

，从而所求期望为：

方法二：

记这

个点为

，则

独立同分布于

。我们的目标是求

。由最大值和最小值分布的计算方法（见多维随机变量函数的分布），

和

的密度函数分别为：

而：

从而：

e.g.8

将

个姓名互不相同的人的姓名分别写在

张完全一样的纸条上，现将纸条随机打乱，每人从中抽取一张纸条，求抽中写有自己姓名的纸条的人数

的数学期望和方差。

解：

随机变量

的分布十分复杂，因而我们考虑间接的方法。这里引入类似计数器功能的随机变量

，用来表示第

个人是否抽中写有自己姓名的纸条，即记：

显然有

。

因这里是随机抽取，因而“中奖”的概率与抽签顺序无关，则

同分布于两点分布

（但不独立），即：

从而：

则：

因

不独立，则：

问题转化为求

，我们先求

的分布列：

所以：

从而：