数学分析隐函数定理及其应用(第18章)

一.隐函数
1.概念:

注:①这里只表示存在着定义在III上,值域包含于JJJ的函数fff，而不意味着yyy能用xxx的某一显式来表示

2.存在性

3.隐函数定理
(1)隐函数存在唯一性定理:

定理18.1:若函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)满足:
①FFF在以P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2D\sub R^2D⊂R2上连续
②F(x0,y0)=0F(x_0,y_0)=0F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)
③FFF在DDD上存在连续的偏导数Fy(x,y)F_y(x,y)Fy(x,y)
④Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0,y_0)≠0Fy(x0,y0)=0
则
①存在点P0P_0P0的某邻域U(P0)⊂DU(P_0)\sub DU(P0)⊂D,在U(P0)U(P_0)U(P0)上方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0唯一地决定了1个定义在某区间(x0−α,x0+α)(x_0-α,x_0+α)(x0−α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x)y=f(x)y=f(x),使得当x∈(x0−α,x0+α)x∈(x_0-α,x_0+α)x∈(x0−α,x0+α)时,(x,f(x))∈U(P0)(x,f(x))∈U(P_0)(x,f(x))∈U(P0)且F(x,f(x))≡0,f(x0)=y0F(x,f(x))\equiv0,f(x_0)=y_0F(x,f(x))≡0,f(x0)=y0

(2)隐函数可微性定理:

定理18.2:设F(x,y)F(x,y)F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理中的4个条件,又设在DDD上还存在连续的偏导数Fx(x,y)F_x(x,y)Fx(x,y),则由方程(1)所确定的隐函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在其定义域(x0−α,x0+α)(x_0-α,x_0+α)(x0−α,x0+α)上有连续偏导数,且f′(x)=−Fx(x,y)Fy(x,y)(5)f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\qquad(5)f′(x)=−Fy(x,y)Fx(x,y)(5)

(3)隐函数极值问题:

(4)多元隐函数的唯一存在与连续可微定理:

定理18.3:若
①函数F(x1,x2...xn,y)F(x_1,x_2...x_n,y)F(x1,x2...xn,y)在以点P0(x10,x20...xn0,y0)P_0(x_1^0,x_2^0...x_n^0,y^0)P0(x10,x20...xn0,y0)为内点的区域D⊂Rn+1D\sub R^{n+1}D⊂Rn+1上连续
②F(x10,x20...xn0,y0)=0F(x_1^0,x_2^0...x_n^0,y^0)=0F(x10,x20...xn0,y0)=0
③偏导数Fx1,Fx2...Fxn,FyF_{x_1},F_{x_2}...F_{x_n},F_yFx1,Fx2...Fxn,Fy在DDD上存在且连续
④Fy(x10,x20...xn0,y0)≠0F_y(x_1^0,x_2^0...x_n^0,y^0)≠0Fy(x10,x20...xn0,y0)=0
则
①存在点P0P_0P0的某邻域U(P0)⊂DU(P_0)\sub DU(P0)⊂D,在U(P0)U(P_0)U(P0)上方程F(x1,x2...xn,y)=0F(x_1,x_2...x_n,y)=0F(x1,x2...xn,y)=0唯一地确定了1个定义在Q0(x10,x20...xn0)Q_0(x_1^0,x_2^0...x_n^0)Q0(x10,x20...xn0)的某邻域U(Q0)⊂RnU(Q_0)\sub R^nU(Q0)⊂Rn上的nnn元连续(隐)函数y=f(x1,x2...xn)y=f(x_1,x_2...x_n)y=f(x1,x2...xn),使得当(x1,x2...xn)∈U(Q0)(x_1,x_2...x_n)\in U(Q_0)(x1,x2...xn)∈U(Q0)时,有(x1,x2...xn,f(x1,x2...xn))∈U(P0)(x_1,x_2...x_n,f(x_1,x_2...x_n))∈U(P_0)(x1,x2...xn,f(x1,x2...xn))∈U(P0)且F(x1,x2...xn,f(x1,x2...xn))≡0,y0=f((x10,x20...xn0)F(x_1,x_2...x_n,f(x_1,x_2...x_n))\equiv0,y^0=f((x_1^0,x_2^0...x_n^0)F(x1,x2...xn,f(x1,x2...xn))≡0,y0=f((x10,x20...xn0)
②y=f(x1,x2...xn)y=f(x_1,x_2...x_n)y=f(x1,x2...xn)在U(Q0)U(Q_0)U(Q0)上有连续偏导数fx1,fx2...fxnf_{x_1},f_{x_2}...f_{x_n}fx1,fx2...fxn,且fx1=−Fx1Fy,fx2=−Fx2Fy...fxn=−FxnFyf_{x_1}=-\frac{F_{x_1}}{F_y},f_{x_2}=-\frac{F_{x_2}}{F_y}...f_{x_n}=-\frac{F_{x_n}}{F_y}fx1=−FyFx1,fx2=−FyFx2...fxn=−FyFxn

4.隐函数的反函数:

二.隐函数组
1.概念:

2.隐函数组定理
(1)函数行列式:

(2)隐函数组定理:

定理18.4:若
①F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在以点P0P_0P0为内点的区域V⊂R4V\sub R^4V⊂R4上连续
②F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)(初始条件)
③在VVV上F,GF,GF,G具有1阶连续偏导数
④J=∂(F,G)∂(u,v)J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}J=∂(u,v)∂(F,G)在点P0P_0P0处不等于0
则
①存在点P0P_0P0的某(4维空间)邻域U(P0)⊂VU(P_0)\sub VU(P0)⊂V,在U(P0)U(P_0)U(P0)上方程组(1)唯一地确定了定义在点Q0(x0,y0)Q_0(x_0,y_0)Q0(x0,y0)的某(2维空间)邻域U(Q0)U(Q_0)U(Q0)上的2个二元隐函数u=f(x,y),v=g(x,y)u=f(x,y),v=g(x,y)u=f(x,y),v=g(x,y)使得u0=f(x0,y0),v0=g(x0,y0)u_0=f(x_0,y_0),v_0=g(x_0,y_0)u0=f(x0,y0),v0=g(x0,y0),且当(x,y)∈U(Q0)(x,y)∈U(Q_0)(x,y)∈U(Q0)时,有(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P0)F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P_0)\\F(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv0\\G(x,y,f(x,y),g(x,y))\equiv0(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P0)F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0②f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在U(Q0)U(Q_0)U(Q0)上连续
③f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)f(x,y),g(x,y)在U(Q0)U(Q_0)U(Q0)上有1阶连续偏导数,且∂u∂x=−1J∂(F,G)∂(x,v),∂v∂x=−1J∂(F,G)∂(u,x)∂u∂y=−1J∂(F,G)∂(y,v),∂v∂y=−1J∂(F,G)∂(u,y)(5)\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)},\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}\\\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}\end{matrix}\qquad(5)∂x∂u=−J1∂(x,v)∂(F,G),∂x∂v=−J1∂(u,x)∂(F,G)∂y∂u=−J1∂(y,v)∂(F,G),∂y∂v=−J1∂(u,y)∂(F,G)(5)

3.反函数组与坐标变换
(1)反函数组:

(2)反函数组定理:

定理18.5:设函数组(9)及其1阶偏导数在某区域D⊂R2D\sub R^2D⊂R2上连续,点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)是DDD的内点,且u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),∂(u,v)∂(x,y)∣P0≠0u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0),\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}|_{P_0}≠0u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),∂(x,y)∂(u,v)∣P0=0则在点P0′(u0,v0)P_0'(u_0,v_0)P0′(u0,v0)的某邻域U(P0′)U(P_0')U(P0′)上存在唯一的1组反函数(10),使得x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0)x_0=x(u_0,v_0),y_0=y(u_0,v_0)x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0),且当(u,v)∈U(P0′)(u,v)∈U(P_0')(u,v)∈U(P0′)时,有(x(u,v),y(u,v))∈U(P0)(x(u,v),y(u,v))∈U(P_0)(x(u,v),y(u,v))∈U(P0)以及恒等式(11);此外,反函数组(10)在U(P0′)U(P_0')U(P0′)上存在连续的1阶偏导数,且∂x∂u=∂v∂y/∂(u,v)∂(x,y),∂x∂v=−∂u∂y/∂(u,v)∂(x,y)∂y∂u=−∂v∂x/∂(u,v)∂(x,y),∂y∂v=∂u∂x/∂(u,v)∂(x,y)(13)\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial v}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)},\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial u}{\partial y}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\\\frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{\partial v}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)},\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial u}{\partial x}/\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\end{matrix}\qquad(13)∂u∂x=∂y∂v/∂(x,y)∂(u,v),∂v∂x=−∂y∂u/∂(x,y)∂(u,v)∂u∂y=−∂x∂v/∂(x,y)∂(u,v),∂v∂y=∂x∂u/∂(x,y)∂(u,v)(13)

(3)坐标变换:

三.几何应用
1.平面曲线的切线与法线:

2.空间曲线的切线与法平面

3.曲面的切平面与法线:

四.条件极值
1.条件极值问题:

2.拉格朗日乘数法:

定理18.6:设在条件(2)的限制下,求函数(3)的极值问题,其中f,φk(k=1,2...m)f,φ_k\,(k=1,2...m)f,φk(k=1,2...m)在区域DDD上有连续的1阶偏导数;若DDD的内点P0(x1(0)...xn(0))P_0(x_1^{(0)}...x_n^{(0)})P0(x1(0)...xn(0))是上述问题的极值点,且雅可比矩阵[∂φ1∂x1...∂φ1∂xn......∂φm∂x1...∂φm∂xn](13)\left[\begin{matrix}\frac{\partialφ_1}{\partial x_1}&...&\frac{\partialφ_1}{\partial x_n}\\...&&...\\\frac{\partialφ_m}{\partial x_1}&...&\frac{\partialφ_m}{\partial x_n}\end{matrix}\right]\qquad(13)⎣⎡∂x1∂φ1...∂x1∂φm......∂xn∂φ1...∂xn∂φm⎦⎤(13)的秩为mmm,则∃m∃m∃m个常数λ1(0)...λm(0)λ_1^{(0)}...λ_m^{(0)}λ1(0)...λm(0),使得(x1(0)...xn(0),λ1(0)...λm(0))(x_1^{(0)}...x_n^{(0)},λ_1^{(0)}...λ_m^{(0)})(x1(0)...xn(0),λ1(0)...λm(0))为拉格朗日函数(12)的稳定点,即(x1(0)...xn(0),λ1(0)...λm(0))(x_1^{(0)}...x_n^{(0)},λ_1^{(0)}...λ_m^{(0)})(x1(0)...xn(0),λ1(0)...λm(0))为n+mn+mn+m个方程{Lx1=∂f∂x1+∑k=1mλk∂φk∂x1=0...Lxn=∂f∂xn+∑k=1mλk∂φk∂xn=0Lλ1=φ1(x1...xn)...Lλm=φm(x1...xn)\begin{cases}L_{x1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\displaystyle\sum_{k=1}^mλ_k\frac{\partialφ_k}{\partial x_1}=0\\...\\L_{x_n}=\frac{\partial f}{\partial x_n}+\displaystyle\sum_{k=1}^mλ_k\frac{\partialφ_k}{\partial x_n}=0\\L_{λ_1}=φ_1(x_1...x_n)\\...\\L_{λ_m}=φ_m(x_1...x_n)\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Lx1=∂x1∂f+k=1∑mλk∂x1∂φk=0...Lxn=∂xn∂f+k=1∑mλk∂xn∂φk=0Lλ1=φ1(x1...xn)...Lλm=φm(x1...xn)的解

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