问题描述

有NN件物品和一个容量为VV的背包．放入第ii件物品．放入第ii件物品耗费的容量是CiC_i，所获得的价值是WiW_i．每件物品只有一个．求将哪些物品放入背包可使价值总和最大．

思考过程

一般来说求极值的问题可分为贪心，动态规划，以及遍历所有可能．在这三中方法中，动态规划是最常见的，也是很难想出来的．其中最难的是定义子问题，写出动态转移方程．类似于将问题简化，如何由较小的子问题，推到出较复杂的问题．类似的计算机的本质是极其简单的二进制运算，但由无数二进制运算叠加在一起，组成了今天复杂的互联网系统．

在上次面试中，由于没想出思路，很紧张，之后写最简单的01背包也没有写出来．面试后，痛定思痛，之后要逐步加强的自己的算法思维能力，证明问题能力，找错能力，工具应用能力．

思路

一般可从最简单入手：

１如果没有物品，解是什么？显而易见，由于没有任何物体，得到的价值为０．这一般对应于动态规划中的初始化．
２再复杂一点点，如果有一个物体，如何求解？直接比较物品体积和背包容量，如果小于，直接拿下，解就是物体的价值，否则还是０．
3 当有两个物体时呢？如果先考虑第二个物体，那么有两种选择，装或者不装，两种选择之后，会产生新的容量，以及第一个物体，那么问题回归到第二种情况．
如果有NN个物体，如果放完第NN个物体（选择放或者不放）后，那么问题转化为含有N−1N-1个物体的子问题．这样问题就逐渐分解了．

定义子问题

用F[i,v]F[i, v]表示前ii件物品放入一个容量为vv的背包所获得的最大价值．

状态转移方程

在放与不放两个子问题中选择一个最大的解

F[i,v]=max(F[i−1,v],F[i−1,v−Ci]+Wi)

F[i, v] = max(F[i - 1, v], F[i - 1, v - C_i] + W_i)

伪代码

F[0, 0...V] = 0
for i = 1 to N for j = 0 to Vif(C[i] > j)F[i, j] = F[i - 1, j]elseF[i, j] = max(F[i - 1, j], F[i - 1, j - C[i]] + W[i])

优化

时间

时间复杂度已无法再优化,.

T=O(NV)

T = O(NV)

空间

这里使用的是二维数据，但求解第ii行值时，只利用到i−1i - 1行的解，并未利用更久之前的解，由于有这种局限解的特性，可以利用一维的滚动数组模拟二维数据，另外由于这里由i−1i-1的前面的解j−c[i]j - c[i]推导出ii后面的解jj，也就是利用一维的数据的话，旧解为前面的解，新解为后面的．那么就应该让jj从大到小进行循环遍历，因为这样第一次接触的到为旧解i−1i-1，新出来的新解jj在此次遍历也不会再用到．也就是当且仅使用了一次．如果是从小到大遍历jj，那么新求出的解j+C[i]j + C[i]在后面还会遍历到，因此还会被重新用到，再次用到的话，还会选择是否拿下这个物体，不符合题意每件物品只有一个（如果有无穷多个物品，就可以从小到大遍历，之后的完全背包问题会提到）

S=O(V)

S = O(V)

优化空间后的伪代码 1

F[0...V] = 0
for i = 1 to Nfor j = V to C[i]F[j] = max(F[j], F[j - C[i]] + W[i]

代码更将简单优雅

初始化的细节

如果是求恰好要装满背包时的最优解，那么像上面的都初始化为０就不行了．这时候需要只有F[0, 0] = 0, F[0, 1…V] = INT_MIN(表示负无穷).可以理解只有０个物品，背包为０容量正好有解，其余解为无效解．如果手工画出来子问题转化图示，这样最基础的子问题只能从F[0,0]F[0,0]出发，不会从其他无效子问题出发，因为初始化无效解是负无穷，两者去较大的话，肯定不会选取负无穷．

一个常数的优化

可将伪代码１再次优化为

for i = 1 to Nfor j = V to max(V - sum（C[i...N]), C[i])F[j] = max(F[j], F[j - C[i]] + W[i]）

由于只需要最后F[V]的值，倒推前一个物品，其实只要知道F[V-C[N]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到F[v-sum{C[j…n]}]即可

求取最优方案

参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优质是由状态转移方程的哪一项得到的，也就是记录最优解时，是否选择了这个物品．具体来说是利用path[i, j] 来记录当前的转移过程，path[i, j] = true表示选取物品i, path = False 表示未选取当前物品．(bool数组更加节省内存)．空间复杂度S=O(VN)S = O(VN).

代码库(C++)

不输出最优方案

void zeroOnePack(int c, int w, int V, vector<int> & F){for(int i = V; i >= c; i--)F[i] = max(F[i], F[i - c] + w);
}
int allZeroOnePack(vector<int>& C, vector<int>& W, int V){vector<int> F(V + 1, 0);for(int i = 0; i < C.size(); i++)zeroOnePack(C[i], W[i], V, F);return F[V];
}

输出最优方案

void zeroOnePack(int i, int c, int w, int V, vector<int> & F, vector<vector<bool> > &path){for(int j = V; j >= c; j--){int choose = F[j - c] + w;if(choose > F[j]){F[j] = choose;path[i][j] = true;}}
}
int allZeroOnePackDetail(vector<int>& C, vector<int>& W, int V){vector<int> F(V + 1, 0);vector<vector<bool> > path(C.size(), vector<bool>(V + 1, false));for(int i = 0; i < C.size(); i++){zeroOnePack(i, C[i], W[i], V, F, path);}return F[V];
}
void printMethod(vector<int>& C){int i = N - 1;int v = V;while(i >= 0){if(path[i][v]){cout<<i<<" ";v = v - C[i];}i--;}
}

另一个小的常数时间优化

在利用dfs递归求解时，先将物品按照单位价格排好序，单位价格高的靠前，这样如果某个物品超载时，没必要再累积其后面物品的价格，而是按照该物品的单位价格乘以剩余容量，这样算出的总价格虽然比实际装载的总价格略高些，如果这样略高于实际值的解还低于当前的最优解，则可对后面剪枝，避免多余的计算．

Reference

背包九讲
0-1背包问题（回溯结点类排序改进）
01背包问题：Charm Bracelet （POJ 3624）（外加一个常数的优化）

背包问题九讲笔记-01背包问题相关推荐

背包九讲之一:01背包问题
文章目录说明: 01背包问题题目基本思路初始化的细节问题优化空间复杂度相关题目练习题目URL 输入格式输出格式数据范围输入样例输出样例: 题目解法说明: 本文所讲内容摘录自崔添 ...
背包问题九讲_背包问题
背包问题九讲我发现背包问题既棘手又有趣. 我敢肯定,如果您正在访问此页面,您已经知道了问题说明,但是只是为了完成本章: 问题: 给定一个最大容量为W和N的背包,每个背包都有自己的值和重量,将它们放入 ...
背包问题九讲 v1.0
背包问题九讲 v1.0 目录第一讲 01背包问题第二讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲二维费用的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题 ...
[转载学习] 背包问题九讲
背包问题九讲 v1.0 目录第一讲 01背包问题第二讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲二维费用的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题 ...
背包问题九讲学习小记
前言有些大佬小学就啃完背包问题九讲了,%%%%%. 细节落实要细致. 原目录(大致意思) 1 01背包 2完全背包 3多重背包 4 123讲的综合 5二维费用的背包问题 6分组背包 7依赖性背包 8 ...
01背包问题分支限界java_分支限界法-01背包问题
1.分支限界法介绍分支限界法类似于回溯法,也是在问题的解空间上搜索问题解的算法.一般情况下,分支限界法与回溯法的求解目标不同.回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解:而分支限界法的求解目 ...
c语言用回溯算法解决01背包问题,回溯法解决01背包问题
<回溯法解决01背包问题>由会员分享,可在线阅读,更多相关<回溯法解决01背包问题(21页珍藏版)>请在人人文库网上搜索. 1.回溯法解决01背包问题,回溯法解决01背包问题, ...
python 完全背包问题_背包问题九讲python3实现
背包九讲是动态规划思想的经典呈现,找了许久没有完整的python3实现,趁机总结一下. 1.0-1背包问题二维DP数组解法: # n, v分别代表物品数量,背包容积 n, v = map(int, ...
1008-----算法笔记----------0-1背包问题（动态规划求解）
1.问题描述给定n种物品和一个背包,物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C.问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? 2.问题分析上述问题可以抽象为一个整数规划问 ...
动态规划——背包问题九解（01背包）
01背包问题问题有 N 件物品和一个容量是 V 的背包.每件物品只能使用一次. 第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi. 求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最 ...

背包问题九讲笔记-01背包问题