背包问题九讲 v1.0
背包问题九讲 v1.0
目录
第一讲 01背包问题
第二讲 完全背包问题
第三讲 多重背包问题
第四讲 混合三种背包问题
第五讲 二维费用的背包问题
第六讲 分组的背包问题
第七讲 有依赖的背包问题
第八讲 泛化物品
第九讲 背包问题问法的变化
附:USACO中的背包问题
前言
本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分,这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结,名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解,又在某种程度上能够揭示动态规划的本质,故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题,我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长,思路也偶有跳跃的地方,后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是:不大量思考,绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的1.0正式版。我会长期维护这份文本,把大家的意见和建议融入其中,也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面,想了解本文是否有更新版本发布,可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子,每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
目录
给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表,及简单的解答。
联系方式
如果有任何意见和建议,特别是文章的错误和不足,或者希望为文章添加新的材料,可以通过http://kontactr.com/user/tianyi/这个网页联系我。
致谢
感谢以下名单:
· 阿坦
· jason911
· donglixp
他们每人都最先指出了本文第一个beta版中的某个并非无关紧要的错误。谢谢你们如此仔细地阅读拙作并弥补我的疏漏。
感谢 XiaQ,它针对本文的第一个beta版发表了用词严厉的六条建议,虽然我只认同并采纳了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时,你的贴子是我的一剂清醒剂,让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然,还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬,或是在论坛上回复我的贴子,不管是发来热情洋溢的邮件,或是在即时聊天的窗口里竖起大拇指,你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力,也鞭策着我不断提高自身水平,谢谢你们!
最后,感谢 Emacs 这一世界最强大的编辑器的所有贡献者,感谢它的插件 EmacsMuse 的开发者们,本文的所有编辑工作都借助这两个卓越的自由软件完成。谢谢你们——自由软件社群——为社会提供了如此有生产力的工具。我深深钦佩你们身上体现出的自由软件的精神,没有你们的感召,我不能完成本文。在你们的影响下,采用自由文档的方式发布本文档,也是我对自由社会事业的微薄努力。
P01: 01背包问题
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。
过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。
procedure ZeroOnePack(cost,weight)
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
P02: 完全背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
这跟01背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度是超过O(VN)的。
将01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}
procedure CompletePack(cost,weight)
P03: 多重背包问题
题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。
基本算法
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
复杂度是O(V*Σn[i])。
转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解:把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品,则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题,直接求解,复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想,我们考虑把第i种物品换成若干件物品,使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外,取超过n[i]件的策略必不能出现。
方法是:将第i种物品分成若干件物品,其中每件物品有一个系数,这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如,如果n[i]为13,就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为n[i],表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数,均可以用若干个系数的和表示,这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出,并不难,希望你自己思考尝试一下。
这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品,将原问题转化为了复杂度为O(V*Σlog n[i])的01背包问题,是很大的改进。
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程,其中amount表示物品的数量:
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<num
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
k=k*2
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)
希望你仔细体会这个伪代码,如果不太理解的话,不妨翻译成程序代码以后,单步执行几次,或者头脑加纸笔模拟一下,也许就会慢慢理解了。
O(VN)的算法
多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程,但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围,故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。
小结
这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V*Σn[i])改进到O(V*Σlog n[i])的过程,还知道了存在应用超出NOIP范围的知识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法,自己证明一下它的正确性,并将完整的程序代码写出来。
P04: 混合三种背包问题
问题
如果将P01、P02、P03混合起来。也就是说,有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。应该怎么求解呢?
01背包与完全背包的混合
考虑到在P01和P02中给出的伪代码只有一处不同,故如果只有两类物品:一类物品只能取一次,另一类物品可以取无限次,那么只需在对每个物品应用转移方程时,根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可,复杂度是O(VN)。伪代码如下:
for i=1..N
if 第i件物品是01背包
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
else if 第i件物品是完全背包
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
再加上多重背包
如果再加上有的物品最多可以取有限次,那么原则上也可以给出O(VN)的解法:遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话,用P03中将每个这类物品分成O(log n[i])个01背包的物品的方法也已经很优了。
当然,更清晰的写法是调用我们前面给出的三个相关过程。
for i=1..N
if 第i件物品是01背包
ZeroOnePack(c[i],w[i])
else if 第i件物品是完全背包
CompletePack(c[i],w[i])
else if 第i件物品是多重背包
MultiplePack(c[i],w[i],n[i])
在最初写出这三个过程的时候,可能完全没有想到它们会在这里混合应用。我想这体现了编程中抽象的威力。如果你一直就是以这种“抽象出过程”的方式写每一类背包问题的,也非常清楚它们的实现中细微的不同,那么在遇到混合三种背包问题的题目时,一定能很快想到上面简洁的解法,对吗?
小结
有人说,困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论,但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来01背包、完全背包、多重背包都不是什么难题,但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实,领会三种基本背包问题的思想,就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。
P05: 二维费用的背包问题
问题
二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为V和U。物品的价值为w[i]。
算法
费用加了一维,只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是:
f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}
如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环,当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了,相信有了前面的基础,你能够自己实现出这个问题的程序。
物品总个数的限制
有时,“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用,每个物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为M。换句话说,设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值,则根据物品的类型(01、完全、多重)用不同的方法循环更新,最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。
小结
当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时,在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。
这个问题变成了每组物品有若干种策略:是选择本组的某一件,还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值,则有:
f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}
注意这里的三层循环的顺序,甚至在本文的beta版中我自己都写错了。“for v=V..0”这一层循环必须在“for 所有的i属于组k”之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。
另外,显然可以对每组内的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。
分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组,这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题(例如P07),由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念,十分有利于解题。
P07: 有依赖的背包问题
简化的问题
这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说,i依赖于j,表示若选物品i,则必须选物品j。为了简化起见,我们先设没有某个物品既依赖于别的物品,又被别的物品所依赖;另外,没有某件物品同时依赖多件物品。
算法
这个问题由NOIP2006金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法,将不依赖于别的物品的物品称为“主件”,依赖于某主件的物品称为“附件”。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。
按照背包问题的一般思路,仅考虑一个主件和它的附件集合。可是,可用的策略非常多,包括:一个也不选,仅选择主件,选择主件后再选择一个附件,选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。(事实上,设有n个附件,则策略有2^n+1个,为指数级。)
考虑到所有这些策略都是互斥的(也就是说,你只能选择一种策略),所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P06中的一个物品组,每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品,其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法,因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。
再考虑P06中的一句话: 可以对每组中的物品应用P02中“一个简单有效的优化”。 这提示我们,对于一个物品组中的物品,所有费用相同的物品只留一个价值最大的,不影响结果。所以,我们可以对主件i的“附件集合”先进行一次01背包,得到费用依次为0..V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组,其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的,通过一次01背包后,将主件i转化为V-c[i]+1个物品的物品组,就可以直接应用P06的算法解决问题了。
较一般的问题
更一般的问题是:依赖关系以图论中“森林”的形式给出(森林即多叉树的集合),也就是说,主件的附件仍然可以具有自己的附件集合,限制只是每个物品最多只依赖于一个物品(只有一个主件)且不出现循环依赖。
解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是,由于附件可能还有附件,就不能将每个附件都看作一个一般的01背包中的物品了。若这个附件也有附件集合,则它必定要被先转化为物品组,然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。
事实上,这是一种树形DP,其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次DP以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完P08后,你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品,求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。
小结
NOIP2006的那道背包问题我做得很失败,写了上百行的代码,却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解,还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系:物品不能既作主件又作附件,每个主件最多有两个附件,可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组,这便揭示了问题的某种本质。
我想说:失败不是什么丢人的事情,从失败中全无收获才是。
P08: 泛化物品
定义
考虑这样一种物品,它并没有固定的费用和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。
更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中,泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h,当分配给它的费用为v时,能得到的价值就是h(v)。
这个定义有一点点抽象,另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V],给它费用v,可得到价值h[V]。
一个费用为c价值为w的物品,如果它是01背包中的物品,那么把它看成泛化物品,它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品,那么它可以看成这样一个函数,仅当v被c整除时有h(v)=v/c*w,其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品,那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当v被c整除且v/c<=n,其它情况函数值均为0。
一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v,若物品组中不存在费用为v的的物品,则h(v)=0,否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P07中每个主件及其附件集合等价于一个物品组,自然也可看作一个泛化物品。
泛化物品的和
如果面对两个泛化物品h和l,要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值,怎么求呢?事实上,对于一个给定的费用v,只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的,对于0..V的每一个整数v,可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到,f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0..V的函数,也就是说,f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。
由此可以定义泛化物品的和:h、l都是泛化物品,若泛化物品f满足f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v},则称f是h与l的和,即f=h+l。这个运算的时间复杂度取决于背包的容量,是O(V^2)。
泛化物品的定义表明:在一个背包问题中,若将两个泛化物品代以它们的和,不影响问题的答案。事实上,对于其中的物品都是泛化物品的背包问题,求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s,则答案就是s[0..V]中的最大值。
背包问题的泛化物品
一个背包问题中,可能会给出很多条件,包括每种物品的费用、价值等属性,物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说,给定了所有条件以后,就可以对每个非负整数v求得:若背包容量为v,将物品装入背包可得到的最大价值是多少,这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言,求得这个泛化物品的一个子域(例如0..V)的值之后,就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。
综上所述,一般而言,求解背包问题,即求解这个问题所对应的一个函数,即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。
小结
本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说,是我在学习函数式编程的 Scheme 语言时,用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象,也许在“模型的抽象程度”这一方面已经超出了NOIP的要求,所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的OI之路逐渐延伸,有一天你会理解的。
我想说:“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题,深入思考以后,也能发现更多。
P09: 背包问题问法的变化
以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量(费用)的限制下求可以取到的最大价值,但背包问题还有很多种灵活的问法,在这里值得提一下。但是我认为,只要深入理解了求背包问题最大价值的方法,即使问法变化了,也是不难想出算法的。
例如,求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值(f数组)之后得到。
还有,如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”,只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。
下面说一些变化更大的问法。
输出方案
一般而言,背包问题是要求一个最优值,如果要求输出这个最优值的方案,可以参照一般动态规划问题输出方案的方法:记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的,换句话说,记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态,从上一个状态接着向前推即可。
还是以01背包为例,方程为f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。再用一个数组g[i][v],设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项(也即f[i][v]=f[i-1][v]),g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略:未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写(设最终状态为f[N][V]):
i=N
v=V
while(i>0)
if(g[i][v]==0)
print "未选第i项物品"
else if(g[i][v]==1)
print "选了第i项物品"
v=v-c[i]
另外,采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来,也即不须纪录g数组,将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v],g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。
输出字典序最小的最优方案
这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。
一般而言,求一个字典序最小的最优方案,只需要在转移时注意策略。首先,子问题的定义要略改一些。我们注意到,如果存在一个选了物品1的最优方案,那么答案一定包含物品1,原问题转化为一个背包容量为v-c[1],物品为2..N的子问题。反之,如果答案不包含物品1,则转化成背包容量仍为V,物品为2..N的子问题。不管答案怎样,子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的,所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下,以下按物品已被逆序排列来叙述。
在这种情况下,可以按照前面经典的状态转移方程来求值,只是输出方案的时候要注意:从N到1输入时,如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立,应该按照后者(即选择了物品i)来输出方案。
求方案总数
对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系(分组、依赖等)的背包问题,除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外,还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。
对于这类改变问法的问题,一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品,转移方程即为
f[i][v]=sum{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]}
初始条件f[0][0]=1。
事实上,这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。
最优方案的总数
这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。以01背包为例。
结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路,最优方案的总数可以这样求:f[i][v]意义同前述,g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数,则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下:
for i=1..N
for v=0..V
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
g[i][v]=0
if(f[i][v]==f[i-1][v])
inc(g[i][v],g[i-1][v]
if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])
inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])
如果你是第一次看到这样的问题,请仔细体会上面的伪代码。
求次优解、第K优解
对于求次优解、第K优解类的问题,如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决,那么求次优解往往可以相同的复杂度解决,第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。
其基本思想是将每个状态都表示成有序队列,将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。
首先看01背包求最优解的状态转移方程:f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解,那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为v时,第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句,熟悉C语言的同学可能比较好理解,或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的,所以我们把它认为是一个有序队列。
然后原方程就可以解释为:f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K],f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]][1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果(的前K项)储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(NVK)。
为什么这个方法正确呢?实际上,一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略,也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解,所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组,并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么,对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。
另外还要注意题目对于“第K优解”的定义,将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者,则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。
小结
显然,这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域(例如数论、图论)结合起来的问题,在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程,遇到其它的变形问法,只要题目难度还属于NOIP,应该也不难想出算法。触类旁通、举一反三,应该也是一个OIer应有的品质吧。
附:USACO中的背包问题
USACO是USA Computing Olympiad的简称,它组织了很多面向全球的计算机竞赛活动。
另外,USACO Contest是USACO常年组织的面向全球的竞赛系列,在此也推荐NOIP选手参加。
我整理了USACO Training中涉及背包问题的题目,应该可以作为不错的习题。其中标加号的是我比较推荐的,标叹号的是我认为对NOIP选手比较有挑战性的。
· Rockers (+) (另一类有趣的“二维”背包问题)
· Milk4 (!) (很怪的背包问题问法,较难用纯DP求解)
以下文字来自我所撰的《USACO心得》一文,该文的完整版本,包括我的程序,可在DD的USACO征程中找到。
Money 是多重背包问题。也就是每个物品可以使用无限多次。要求解的是构成一种背包的不同方案总数。基本上就是把一般的多重背包的方程中的min 改成sum 就行了。
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