01背包问题

问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i
件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

题解

题解（1）二维空间

（1）定义状态： f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]：前 i i i件物品，在容量为 j j j下的最优解（最大价值）

解释：当前状态 i i i依赖于上一个状态 i − 1 i-1 i−1，，即在f[0][0]时开始，有N件物品，则需要N次决策，每一次对第 i 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

（2）状态转移方程：当背包容量足够时可以选择装入第 i 件物品或者不装。
装入： f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] + v [ i ] f[i][j] = f[i-1][j - w[i] + v[i] f[i][j]=f[i−1][j−w[i]+v[i]
不装： f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j] = f[i-1][j] f[i][j]=f[i−1][j]

因此状态转移方程为：
f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − w [ i ] + v [ i ] } f[i][j] = max\{f[i-1][j], f[i-1][j - w[i] + v[i]\} f[i][j]=max{f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]+v[i]}
（3）边界条件
当背包容量不足时： j < w [ i ] j < w[i] j<w[i]，此时下一状态前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解。
当前状态 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j ] 当前状态f[i][j] = f[i-1][j] 当前状态f[i][j]=f[i−1][j]
代码：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1010;
int V[N], W[N];
int f[N][N];
//int f[N];
int n, w;int main(void)
{cin >> n >> w;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> W[i] >> V[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= w; j++){if(W[i] > j)f[i][j] = f[i-1][j];else if(W[i] <= j)f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]);}}for(int i = 0; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= v; j++)cout << f[i][j] << " ";cout << endl;}/*for(int j = 0; j <= w; j++)cout << f[j] << " ";*/cout << endl;cout << f[n][w] << endl;system("pause");return 0;
}

题解（2）状态压缩至一维

将二维状态 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]压缩至一维 f [ j ] f[j] f[j]，此时少了维度 i ，之所以可以压缩状态 i 是因为每一次的第 i 个状态只与上一状态 i - 1 有关，与其他无关，因此可以对物品维度进行压缩，直接在 N 件物品上寻找最优值。
（1）定义状态： f [ j ] f[j] f[j]：N 件物品，在背包容量为 j 时的最优解
注意1：对背包容量 j 进行遍历时要从 w （最大容量）开始，然后递次倒序遍历。
注意2之所以要倒序遍历，是因为在二维情况下，状态 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]是由上一轮 i − 1 i - 1 i−1的状态得来的， f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]与 f [ i − 1 ] [ j ] f[i - 1][j] f[i−1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有 f [ 较小体积 ] f[较小体积] f[较小体积]更新到 f [ 较大体积 ] f[较大体积] f[较大体积]，则有可能本应该用第 i − 1 i-1 i−1轮的状态却用的是第 i 轮的状态。

（2）状态转移方程
f [ j ] = m a x { f [ j ] , f [ j − w [ i ] ] + v [ i ] } f[j] = max\{f[j], f[j - w[i]] + v[i]\} f[j]=max{f[j],f[j−w[i]]+v[i]}
代码：

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1010;
int V[N], W[N];
//int f[N][N];
int f[N];
int n, w;int main(void)
{cin >> n >> w;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> W[i] >> V[i];}for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = w; j >= W[i]; j--){if(W[i] > j)//f[i][j] = f[i-1][j];f[j] = f[j];else if(W[i] <= j)//f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]);f[j] = max(f[j], f[j - W[i]] + V[i]);}}/*for(int i = 0; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= v; j++)cout << f[i][j] << " ";cout << endl;}*/for(int j = 0; j <= w; j++)cout << f[j] << " ";cout << endl;cout << f[w] << endl;system("pause");return 0;
}

求解在恰好装满背包的情况下具体装入方案

为求解恰好装满背包时取得的最大价值，这里需要引入有效状态和无效状态，我们最开始时初始化转移矩阵全为0，这个初始化的方法意思是：对任意的一个状态，把当前的价值初始化为0，代表背包为空时所包含的物体价值为0 。即认为不管背包当前容量，背包是空的那么价值就是0，，没装满背包的状态都是有效的状态，我们称之为有效状态。
当要求恰好装满时，我们就不可以这么做了，因为我们认为背包没恰好装满的话，当前背包的状态无效，即无效状态，只有恰好装满时候才是有效状态。
我们不妨定义当背包的状态为无效状态时，f[i]的值是负无穷，这样我们就可以从状态转移矩阵中区分出有效状态和无效状态了。
先不关心如何计算f，有了这个定义，对于恰好装满的01背包问题，我们只需要判断f[V]中的值是否是负无穷，就知道背包能否装满了。当f[V]中的值不是负无穷，我们接下来需要设计状态转移方程，使f[V]就是背包恰好装满时候的最大价值。

这里参考了另一篇博客，那里有推到有效状态和无效状态的证明
https://blog.csdn.net/Iseno_V/article/details/100697105

这里只介绍如何解决问题
也就是说在初始化转移矩阵上下文章，即f[0] = 0，else f[i] = -INF，这里的意思是说智能从f[0]开始算有效状态，其他均为无效状态。恰好把问题转化成背包容量为0时，装的物体体积为0是有效状态。

for(int i = 0; i < N; i++)f[i] = -100000000;f[0] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = w; j >= W[i]; j--){//f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]);if(f[j] < f[j - W[i]] + V[i]){path[i][j] = 1;f[j] = f[j - W[i]] + V[i];}if(f[j] < 0)f[j] = -100000000;}}

下面介绍如何求解被选物品

（1）定义
需要定义一个路径矩阵path[N][N]，表示有n（物品数）行m（背包重量）列，在进行状态转移时，若 f [ j ] < f [ j − W [ i ] ] + V [ i ] f[j] < f[j - W[i]] + V[i] f[j]<f[j−W[i]]+V[i]则在路径矩阵中赋值 1 ，其他为 0 ，这样求解出物品矩阵了

（2）输出
对背包物品个数 n 进行倒序循环，若path[i][w]为 1 ，则输出 W[i]，并把当前背包容量减去W[i]，即w - W[i]，代码如下

int p = w;for(int i = n; i >= 0; i--)//路径输出 {if(w < 0) break;if(path[i][p]){cout << W[i] << ' ';p -= W[i];}}

完整代码

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1010;
int V[N], W[N];
//int f[N][N];
int f[N];
int n, w;
int path[N][N];int main(void)
{cin >> n >> w;for(int i = 1; i <= n; i++){cin >> W[i] >> V[i];}for(int i = 0; i < N; i++)f[i] = -100000000;f[0] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = w; j >= W[i]; j--){//f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]);if(f[j] < f[j - W[i]] + V[i]){path[i][j] = 1;f[j] = f[j - W[i]] + V[i];}if(f[j] < 0)f[j] = -100000000;}}/*for(int i = 0; i <= n; i++){for(int j = 0; j <= v; j++)cout << f[i][j] << " ";cout << endl;}*/// for(int j = 0; j <= w; j++)//     cout << f[j] << " ";// cout << endl;// cout << f[w] << endl;int p = w;for(int i = n; i >= 0; i--)//路径输出 {if(w < 0) break;if(path[i][p]){cout << W[i] << ' ';p -= W[i];}}cout << endl;if (f[w] > 0){cout << f[w] << endl;//背包恰好装满了，输出结果}else{cout << "error" << endl;//背包不能恰好装满}system("pause");return 0;
}

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