Tarjan算法详细讲解
Tarjan算法讲解的博客网上找到三篇比较好的,现在都转载了,个人只研究了第一篇,正如博主所说,讲的标比较详细,清晰,剩下两篇也可以看一下.
卿学姐视频讲解 https://www.bilibili.com/video/av7330663/
以下内容转自:http://www.cnblogs.com/uncle-lu/p/5876729.html
全网最详细tarjan算法讲解,我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解,我看了半天才看懂。我写的这个,读完一遍,发现原来tarjan这么简单!
强连通图: 如果 在一个有向图G中,每两个点都强连通,我们就叫这个图,强连通图。
而在这个有向图中,点1 2 3组成的这个子图,是整个有向图中的强连通分量。
解答树:就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树(图),其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用,一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程!”
tarjan(u){DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u) // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E // 枚举每一条边if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过tarjan(v) // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S) // 如果节点u还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根repeat v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)
}
回到1,判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW[1]还是 1 。
判断 LOW[1] == DFN[1]
诶?!相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点,都出栈。
栈 :(鬼都没有了)
然而并没有完,万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢?!
like 如果这个点没有被访问过,那么就从这个点开始tarjan一遍。
来一道裸代码。
输入:
一个图有向图。
输出:
它每个强连通分量。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6output:
6
5
3 4 2 1
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
struct node {int v,next;
}edge[1001];
int DFN[1001],LOW[1001];
int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
void add(int x,int y)
{edge[++cnt].next=heads[x];edge[cnt].v = y;heads[x]=cnt;return ;
}
void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。
{DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。stack[++index]=x;//进站visit[x]=1;//表示在栈里for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next){if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸,开始递归LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情。}else if(visit[edge[i].v ]){ //如果访问过,并且还在栈里。LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子/父亲。就是链接对应关系}}if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。{do{printf("%d ",stack[index]);visit[stack[index]]=0;index--;}while(x!=stack[index+1]);//出栈,并且输出。printf("\n");}return ;
}
int main()
{memset(heads,-1,sizeof(heads));int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);int x,y;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y);}for(int i=1;i<=n;i++)if(!DFN[i]) tarjan(1);//当这个点没有访问过,就从此点开始。防止图没走完return 0;
}
以下内容转自:http://blog.csdn.net/jeryjeryjery/article/details/52829142
Tarjan算法的C++实现代码如下,可以配合上面的图加以理解:
#include<iostream>
using namespace std;
int DFN[105]; //记录在做dfs时节点的搜索次序
int low[105]; //记录节点能够找到的最先访问的祖先的记号
int count=1; //标记访问次序,时间戳
int stack[105]; //压入栈中
int top=-1;
int flag[105]; //标记节点是否已经在栈中
int number=0;
int j;
int matrix[105][105]={{0,1,1,0,0,0},{0,0,0,1,0,0},{0,0,0,1,1,0},{1,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0,0}};
int length; //图的长度
void tarjan(int u){DFN[u]=low[u]=count++; //初始化两个值,自己为能找到的最先访问的祖先stack[++top]=u;flag[u]=1; //标记为已经在栈中for(int v=0;v<length;v++){if(matrix[u][v]){if(!DFN[v]){ //如果点i没有被访问过tarjan(v); //递归访问if(low[v]<low[u])low[u]=low[v]; //更新能找的到祖先}else{ //如果访问过了,并且该点的DFN更小,则if(DFN[v]<low[u]&&flag[v]) //flag[v]这个判断条件很重要,这样可以避免已经确定在其他联通图的v,因为u到v的单向边而影响到u的lowlow[u]=DFN[v]; //也就是已经确定了的联通图要剔除掉,剔除的办法就是判断其还在栈中,因为已经确定了的连通图的点} //flag在下面的do while中已经设为0了(即已经从栈中剔除了)}}//往后回溯的时候,如果发现DFN和low相同的节点,就可以把这个节点之后的节点全部弹栈,构成连通图if(DFN[u]==low[u]){number++; //记录连通图的数量do{j=stack[top--]; //依次取出,直到ucout<<j<<" ";flag[j]=0; //设置为不在栈中}while(j!=u);cout<<endl;}
}
int main(){memset(DFN,0,sizeof(DFN)); //数据的初始化memset(low,0,sizeof(low));memset(flag,0,sizeof(flag));length=6;tarjan(0);cout<<endl;for(int i=0;i<6;i++){cout<<"DFN["<<i<<"]:"<<DFN[i]<<" low["<<i<<"]:"<<low[i]<<endl;}return 0;
}
以下内用转自:http://blog.csdn.net/wsniyufang/article/details/6604458
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
tarjan(u)
{DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值Stack.push(u) // 将节点u压入栈中for each (u, v) in E // 枚举每一条边if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过tarjan(v) // 继续向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S) // 如果节点u还在栈内Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根repeatv = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点print vuntil (u== v)
}
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。
继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=4。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
void tarjan(int i)
{int j;DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;instack[i]=true;Stap[++Stop]=i;for (edge *e=V[i]; e; e=e->next){j=e->t;if (!DFN[j]){tarjan(j);if (LOW[j]<LOW[i])LOW[i]=LOW[j];}else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])LOW[i]=DFN[j];}if (DFN[i]==LOW[i]){Bcnt++;do{j=Stap[Stop--];instack[j]=false;Belong[j]=Bcnt;}while (j!=i);}
}
void solve()
{int i;Stop=Bcnt=Dindex=0;memset(DFN,0,sizeof(DFN));for (i=1; i<=N; i++)if (!DFN[i])tarjan(i);
}
https://blog.csdn.net/Prediction__/article/details/100030166
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