三维空间中判断射线与平面是否相交

摘要

本文内容包括：

三维空间中射线与平面的表示方法，
三维空间中判断射线与平面是否相交。

文末参考链接的资料都不错，但总漏点东西，所以把它们说总结到了一起。

三维空间中射线的表示方法

射线可以用三个量来表示：射线的起始点、射线的方向向量以及射线的长度。

如图所示的射线的参数方程为：
P(t)=P0′+tu⃗P(t) = P_0^{'} + t \vec{u} P(t)=P0′+tu
其中，P(t)P(t)P(t)为射线上的点，其所有可能的结果构成了整条射线；P0′P_0^{'}P0′是射线的起点，u⃗\vec{u}u 为射线的方向向量，ttt为射线的长度且t∈[0,∞)t∈[0,∞)t∈[0,∞)

三维空间中平面的表示方法

平面可以用二个量来表示：平面上任一点，过该点的平面法向量。

如图所示的平面的参数方程为：
(P−P0)n⃗=0(P - P_0)\vec{n} = 0 (P−P0)n=0
其中，PPP为变量，其所有可能的结果组成了这个平面；P0P_0P0为平面上已知的某一点，n⃗\vec{n}n为平面上过已知点P0P_0P0的法向量。
公式的物理意义为：(P−P0)(P - P_0)(P−P0)表示平面上的向量，其与平面法向量n⃗\vec{n}n总是垂直的，故它们之间的内积为0.

三维空间中射线与平面是否相交的判断方法

射线不同于直线，射线存在起始点和方向，它与平面存在3种情况：

射线与平面平行。这时候肯定不相交。
射线与平面不平行。但平面在射线负方向，这时候也不相交。
射线与平面不平行。且平面在射线正方向，这时候射线与平面相交。

下面分情况讨论。
n⃗u⃗=0\vec{n}\vec{u} = 0nu=0时，表示射线与平面平行，这时候肯定不相交。
n⃗u⃗≠0\vec{n}\vec{u} \neq 0nu=0时，表示射线与平面不平行，这时候射线所在的直线与平面必定相交于一点，记该点为P(t)P(t)P(t)，那么有：
(P0−P(t))n⃗=0(P_0 - P(t))\vec{n} = 0 (P0−P(t))n=0
带入射线参数方程P(t)=P0′+tu⃗P(t) = P_0^{'} + t \vec{u}P(t)=P0′+tu，有
(P0−P0′−tu⃗)n⃗=0(P_0 - P_0^{'} - t \vec{u})\vec{n} = 0 (P0−P0′−tu)n=0
解之得
t=(P0−P0′)n⃗u⃗n⃗t = \frac{(P_0 - P_0^{'})\vec{n}}{\vec{u}\vec{n}}t=un(P0−P0′)n注意，这里是向量点积，所以分子分母的n⃗\vec{n}n不能消掉。
所以我们可以求出射线所在的直线与平面交点
P(t)=P0′+tu⃗=P0′+(P0−P0′)n⃗u⃗n⃗u⃗P(t) = P_0^{'} + t \vec{u} = P_0^{'} + \frac{(P_0 - P_0^{'})\vec{n}}{\vec{u}\vec{n}} \vec{u} P(t)=P0′+tu=P0′+un(P0−P0′)nu
那么如何判断射线是否与平面相交呢？
当t>=0t >= 0t>=0时，交点在射线正方向上，所以射线与平面相交，交点即为P(t)；
当t<0t < 0t<0时，交点在射线负方向上，所以射线与平面不相交，但射线所在的直线与平面相交。