关于数学里的一些知识

关于数学：

$\sum _{i=1}^{n} i^3 = \frac{n\times (n+1) \times (2n+1)}{6}$ -------------------------- 1

$\sum _{i=1}^{n} i^4 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ --------------------------- 2

推一下1式：

$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

$(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$

再写几项

$n^3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-(n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1$

$(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-2)^2 + 3(n-2) + 1$

$(n-2)^3 - (n-3)^3 = 3(n-3)^2 + 3(n-3) + 1$

...................

$2^3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1^3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= 3(1^2) \,\,\,\,\,\,\,\,\,+ 3(1) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+ 1$

得 $n^3 - 1 = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + ........ + n^2) + 3(1 + 2 + ..... + n) + n$

即 $n^3-1 = 3(1^2+2^2+3^2 + ........ + n^2) + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

最后求得 $(1^2 + 2^2 + 3^2 + ........ n^2) = \frac{n \times (n+1) \times (2n+1)}{6}$

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