第二讲 ODE欧拉数值方法

一，数值方法是解微分方程的主要方法；

二，IVP初值问题：一阶微分方程 ${y}'=f(x,y)$ ，和初始点 $y(x_{n})=y_{n}$ ，联立的方程组；

三，欧拉数值方法：

找到初始点 $(x_{n},y_{n})$
根据微分方程 ${y}'=f(x,y)$ ，求出初始点斜率 $A_{n}=f(x_{n},y_{n})= \frac{y_{n+1}-y_{n}}{h}$
设步长为 $h$
求 $x_{n+1}=x_{n}+h$
求 $y_{n+1}=y_{n}+hA_{n}$
……循环迭代

也可以用表格的方法来做，见视频10:00~15:50

四，欧拉数值方法的问题：

计算结果的误差偏高还是偏低？如果解是凹函数，则偏低；如果解是凸函数，则偏高
判断初始点附近的函数凹凸性的方法：先求 ${y}'=f(x,y)$ 的导函数 ${y}''$ ，再将初始点 $(x_{n},y_{n})$ 代入导函数，解出 ${y}''$ ， ${y}''$ 为+时是凹函数， ${y}''$ 为-时是凸函数
如果函数是凹凸起伏的，则需要分段判断
减小误差的方法1：取较小步长，效果是一阶逼近 $e\sim C_{1}h$
减小误差的方法2：将斜率 $A_{n}$ 改为 $\frac{A_{n}+A_{n+1}}{2}$ ，效果是二阶逼近 $e\sim C_{1}h^{2}$
电脑作图的标准方法是RK4（runge-kutta四阶逼近）

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