CH - 0502 七夕祭(思维+中位数优化+前缀和优化)

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题目大意：七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。

TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由N排M列共计N×M个摊点组成。虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。

不过zhq告诉Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足cl的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

题目分析：中文题目，题意不难理解，首先我们应该知道，行和列是两个独立的个体，在交换相邻两行的时候，对列是没有贡献的，同理，在交换相邻两列的时候，对行也是没有贡献的，所以我们只针对于交换相邻两列的情况讨论：

首先列数一共有m列，摊数一共有t个，若t%m不为0，那么对于列是无解的，如果有解的话，那么每一列最后都需要有t/m个摊点才行，而相邻两个可以交换，我们先假设当前的模型不是环状的而是线状的，a[1]是开头，a[m]是结尾，这样一来就能线性递推出答案了，比如：

若a[i]>t/m，则a[i]需要给a[i+1] a[i]-t/m个摊点
若a[i]<t/m，则a[i+1]需要给a[i] t/m-a[i]个摊点

用上面的关系就能线性递推出答案了

但实际上题目并不是这么简单的，题目将线性的模型改成了环状的模型，也就是说必定存在着一种最优解，能让答案最小，换句话说，必定有两个相邻的列之间没有发生摊位的交换，就像上面提到的线性模型一样，开头节点和末尾节点之间就没有发生摊位的交换，在这种情况下求最优解，我们最朴素的方法是枚举每一个断点，一共需要枚举n次，每次都需要进行O(n)的递推，才能计算出答案，从而维护出最小值，总的时间复杂度为n*n+m*m，这个题目给出的n和m都达到了1e5的级别，所以n*n肯定会超时的，我们需要想办法优化

我们可以一开始就让a[i]数组的每一项都减去t/m，最后结果为正说明需要往后面扔，为负说明需要从后面拿，这样我们维护一个前缀和sum[i]，第i项对答案的贡献就是abs(sum[i])了，其实思想和上面的方法类似，只不过上面的思想相当于模拟整个过程，而这里的思想是将模型抽象出来，转换为数学公式而已了，比如第i个位置的贡献是a[i]，先不管他的正负，我们都需要将a[i]先转移(拿走或提供)给a[i+1]，然后再计算a[i+1]的贡献，随后再将a[i+1]的贡献转移给a[i+2]，如此往复就是一个前缀和了，并且当前前缀和的最后一项一定等于0，即sum[m]=0

但上述转换只是换了种方法求每个位置对答案的贡献，实质上时间复杂度还是O(n)，并没有起到优化的作用，所以我们需要继续转换，到这里我们发现对于求答案，也只能优化为O(n)了，实在是没有办法再优化了，那么我们就只能着手于优化另一个O(n)，也就是枚举n个端点选出最小值的过程了

因为有了前缀和sum[i]的辅助，我们可以设置某个断点k，此时第k+1个点充当第一个点，第k个点充当最后一个点，这样我们将刚才求得的前缀和稍加转换：

第几项前缀和

a[k+1] sum[k+1]-sum[k]

a[k+2] sum[k+2]-sum[k]

....

a[m] sum[m]-sum[k]

a[1] sum[1]+sum[m]-sum[k]

....

a[k] sum[k]+sum[m]-sum[k]

这样我们在知道断点的下标后，就可以O(1)求出所需要的前缀和了，也就不需要每次再用O(m)重新维护前缀和了

因为我们在上面提到过，sum[m]=0，那么上面的每一项都可以总结为一个通项了，对于第i项，他的前缀和就是sum[i]-sum[k]，那么当前位置对答案的贡献也就是abs(sum[i]-sum[k])，我们现在只要找到k，使得i=[1,m]的贡献和最小就可以了，上面我们最朴素的方法是暴力枚举，线性维护最小值，但被我们直接驳回了，我们通过观察以及总结可以得出结论，若想让上面的式子贡献和最小，让sum[k]选取sum数组的中位数即可，这样我们只需要对sum数组排序，时间复杂度为nlogn，忽略其余常数的话，这个题目的额时间复杂度就优化为nlogn+mlogm了，完美解决

不得不提一句，这个题目和“货仓选址”那个题目又有点不同，货仓选址那个题目也是让在数轴上选取一个位置，使得abs(a[i]-x)的贡献和最小，可以得出的结论是：

当n为奇数时，货仓建在a[n/2+1]处最优
若n为偶数时，货仓建在a[n/2]~a[n/2+1]之间(闭区间)的任何位置都是最优解

所以在做这个题目的时候，我直接按照分类讨论，当n为奇数时，求得的中位数是(a[n/2]~a[n/2+1])/2，但只得了90分，最后一拍脑瓜才知道，货仓选址这个题目的中位数是可以在数轴上任意选取的，但这个题目的中位数是只能再sum数组中选取，所以如果除以2的话，求出来的答案可能不是sum数组中的元素，所以求出来的答案就不满足题意了

那么对于这个题目，我们也无需分奇偶讨论了，统统以sum[(n+1)/2]作为中位数就可以了

还有一个细节需要注意，就是前缀和和最终答案可能会爆int，记得开longlong就好了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;int n,m,t;LL ans_r,ans_c;struct Pos
{int x,y;
}a[N];LL c[N];bool solve_r()//处理行
{if(t%n)return false;memset(c,0,sizeof(c));for(int i=1;i<=t;i++)//记录每一列有多少个摊位c[a[i].x]++;for(int i=1;i<=n;i++)//维护前缀和c[i]=c[i]-t/n+c[i-1];sort(c+1,c+1+n);//排序LL temp=c[(n+1)/2];//中位数ans_r=0;for(int i=1;i<=n;i++)//计算贡献和ans_r+=llabs(c[i]-temp);return true;
}bool solve_c()//处理列，同上
{if(t%m)return false;memset(c,0,sizeof(c));for(int i=1;i<=t;i++)c[a[i].y]++;for(int i=1;i<=m;i++)c[i]=c[i]-t/m+c[i-1];sort(c+1,c+1+m);LL temp=c[(m+1)/2];ans_c=0;for(int i=1;i<=m;i++)ans_c+=llabs(c[i]-temp);return true;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);for(int i=1;i<=t;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);bool flag_c=solve_c();bool flag_r=solve_r();if(flag_c&&flag_r)printf("both %lld\n",ans_c+ans_r);else if(flag_c)printf("column %lld\n",ans_c);else if(flag_r)printf("row %lld\n",ans_r);elseprintf("impossible\n");return 0;
}

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