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题目大意：给出一棵 n 个点组成的有根树，再给出 m 次询问，每次询问需要回答点 x 和点 y 的 lca

题目分析：今天新学了两种蛮有意思的求 LCA 的方法，总结一下四种方法各有利弊吧，实现复杂度参考我自己，如果有代码大佬能闭着眼随便写的话，忽略即可 Orz

树上倍增求LCA：

时间复杂度：
1. 预处理：O( nlogn )
2. 查询：O( logn )
空间复杂度：O( nlogn )
实现复杂度：最简单

树链剖分求LCA：

时间复杂度：
1. 预处理：O( n )
2. 查询：O( logn )
空间复杂度：O( logn )
实现复杂度：最难写

RMQ求LCA：

时间复杂度：
1. 预处理：O( nlogn )
2. 查询：O( 1 )
空间复杂度：O( nlogn )
实现复杂度：不如倍增简单

Tarjan求LCA（离线）：

时间复杂度：O( n )
空间复杂度：O( n )
实现复杂度：也比较简单

总体来说，当下求LCA的主流是树上倍增和树链剖分，树上倍增实现最简单，树链剖分常数最小，而有些题目会卡 log，所以有时候也会用到 Tarjan 离线去求，至于 RMQ，如果不卡内存的话感觉RMQ比倍增要优秀

代码：

Tarjan：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;vector<pair<int,int>>qu[N];vector<int>node[N];int fa[N],ans[N];bool vis[N];int find(int x)
{return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}void tarjan(int u,int f)
{fa[u]=u;for(auto v:node[u]){if(v==f)continue;tarjan(v,u);fa[v]=u;}vis[u]=true;for(auto it:qu[u]){int v=it.first,id=it.second;if(vis[v])ans[id]=find(v);}
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m,root;scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);node[u].push_back(v);node[v].push_back(u);}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);qu[u].emplace_back(v,i);qu[v].emplace_back(u,i);}tarjan(root,-1);for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}

RMQ：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;vector<int>node[N];int dfn[N],id[N<<1][25],deep[N],cnt,lg2[N<<1];void dfs(int u,int fa,int dep)
{deep[u]=dep;dfn[u]=++cnt;id[cnt][0]=u;for(auto v:node[u]){if(v==fa)continue;dfs(v,u,dep+1);id[++cnt][0]=u;}
}void RMQ()
{for(int i=2;i<=cnt;i++)lg2[i]=lg2[i>>1]+1;for(int j=1;j<=20;j++)for(int i=1;(i+(1<<j)-1)<=cnt;i++){int l=i,r=i+(1<<(j-1));id[i][j]=deep[id[l][j-1]]<deep[id[r][j-1]]?id[l][j-1]:id[r][j-1];}
}int query(int x,int y)
{int l=dfn[x],r=dfn[y];if(l>r)swap(l,r);int k=lg2[r-l+1];return deep[id[l][k]]<deep[id[r-(1<<k)+1][k]]?id[l][k]:id[r-(1<<k)+1][k];
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m,root;scanf("%d%d%d",&n,&m,&root);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);node[u].push_back(v);node[v].push_back(u);}dfs(root,0,0);RMQ();while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d\n",query(x,y));}return 0;
}

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