NP-Hard问题及组合最优化问题

1.P类问题和NP类问题

在讲NP-Hard问题问题之前，先讲P类问题和NP类问题
P类问题：可以找到一个多项式时间复杂度的算法去解决的问题；
NP类问题：可以在多项式时间复杂度的算法去验证结果正确性的问题；比如随便拿一个结果，可在多项式时间内验证该结果是否正确，但是想要求解该结果的时间复杂度就不知道了。P类问题一定是NP类问题，但是NP类问题不一定能找到多项式时间复杂度的算法来解决（要是找到了就是P问题了）。所以人们关心的是：是否所有的NP问题都是P问题，即是否有 P=NP（信息学的巅峰问题）
目前为止这个问题还“啃不动”。但是，一个总的趋势是人们普遍认为，P=NP不成立，也就是说，多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。人们如此坚信P≠NP是有原因的，就是在研究NP问题的过程中找出了一类非常特殊的NP问题叫做NP-完全问题，也即所谓的 NPC问题。

2.NP-完全问题（NPC问题）

一个问题约化为另一个问题，时间复杂度增加了，问题的应用范围也增大了。通过对某些问题的不断约化，我们能够不断寻找复杂度更高，但应用范围更广的算法来代替复杂度虽然低，但只能用于很小的一类问题的算法。

如果从某一个NP问题开始不断向上约化，不断找到能“通吃”若干小NP问题的一个稍复杂的大NP问题，那么最后是否有可能找到一个时间复杂度最高，并且能“通吃”所有的 NP问题的这样一个超级NP问题？

NPC问题：存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。这种问题不只一个，它有很多个，它是一类问题。这一类问题就是NPC 问题。

NPC问题的定义：同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题：首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。

NPC问题的证明：先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足）

补充约化的概念
问题A可以约化为问题B：可以采用解决问题B的方法解决问题A；或者说，问题A可以转化为问题B。（如：一元二次方程的解法可以用来解一元一次方程，只要令二次项系数a=0即可）
问题A可以约化为问题B 的直观意义：B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度。也就是说，问题A不比问题B难。
约化具有传递性：如果问题A可约化为问题B，问题B可约化为问题C，则问题A一定可约化为问题C。
约化的标准概念：如果能找到这样一个变化法则（要求该变化法则为至多多项式时间复杂度），对任意一个程序A的输入，都能按这个法则变换成程序B的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题A可约化为问题B。

3.NP-hard问题

NP-hard问题满足NPC问题定义的第二条而不满足第一条。NP-hard问题的范围比NP问题要广。

NP-hard问题同样难以找到多项式时间复杂度的算法，但它也不一定是NP问题（只是所有的NP问题都可以约化到它）。

NP-hard问题：指问题S，满足任何NP问题都可以在多项式级时间复杂度内被归约为S（归约：即被归约的NP问题与S的答案相同，当解决了S时，就同时解决了所有的NP问题）。可以理解为，这是一个比所有NP问题都难的问题。

其实，NP-hard问题是世界七大数学难题之首

2000年，美国克莱数学研究所公布了世界七大数学难题，又称千禧年大奖难题。其中P与NP问题被列为这七大世界难题之首，从而大大激发了对这一问题的研究热情。

普林斯顿大学计算机系楼将二进制代码表述的“P=NP?”问题刻进顶楼西面的砖头上。如果证明了P=NP，砖头可以很方便的换成表示“P=NP！”。
康奈尔大学的Hubert Chen博士提供了这个玩笑式的P不等于NP的证明：
反证法。设P = NP。令y为一个P = NP的证明。证明y可以用一个合格的计算机科学家在多项式时间内验证，我们认定这样的科学家的存在性为真。但是，因为P = NP，该证明y可以在多项式时间内由这样的科学家发现。但是这样的发现还没有发生（虽然这样的科学家试图发现这样的一个证明），我们得到了矛盾。(上面内容来自wiki百科)

典型的NP-hard问题：TSP

售货员旅行问题 (traveling salesman problem)，是最具有代表性的NP问题之一。假设一个推销员需要从香港出发，经过广州，北京，上海，…，等 n 个城市，最后返回香港。任意两个城市之间都有飞机直达，但票价不等。现在假设公司只给报销 C 块钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于 C？
推销员旅行问题显然是 NP 的。因为如果你任意给出一个行程安排，可以很容易算出旅行总开销。但是，要想知道一条总路费小于 C 的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排! 这将是个天文数字。
这个天文数字到底有多大？目前的方法接近一个一个的排着试，还没有找到更好可以寻得最短路径的方法。对七个城而言，共有 6!=720 个排法，还比较简单；，但若有 20 个城，则排法就有 19! 种。因故在排列组合里 n! 写起来轻松。但 1.21∗10171.21∗1017 是一个大得不得了的数字。若每秒钟排一次，要排 3.84∗1093.84∗109 年（一年约为 3.15∗1073.15∗107 秒），即使使用计算器，每秒排一百万次（不容易做到）也得重做三千年才能找到答案。「生也有涯，知也无涯」，想不到区区二十个城，要三十个世纪才能找到答案。

4.组合最优化问题

组合最优化问题（combinatorial optimizationproblem）是一类在离散状态下求极值的问题。把某种离散对象按某个确定的约束条件进行安排，当已知合乎这种约束条件的特定安排存在时，寻求这种特定安排在某个优化准则下的极大解或极小解的间题。

组合最优化的理论基础含线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、拟阵论和网络分析等。组合最优化技术提供了一个快速寻求极大解或极小解的方法。

多数问题属于所谓的NP完全问题，即对该问题基本上不存在一种算法，使得当所有的具体问题的变量和约束条件的数目两者之和甚大时，可以在容许时间（即所谓的多项式时间）之内给出所要的解。

由于这类问题在生产实际中经常出现，不能予以忽视，于是出现了两类解决问题的途径：一类是所谓的直观算法，另一类是近似算法。随着组合最优化研究的进展，一些数学分支，如组合数学、拟阵和广义拟阵以及图论等，也相应地得到新的发展。