关于人工智能中的分析学快速入门的介绍安排如下：（1）在知识体系构成部分，将详细介绍AI所需的分析学核心知识，即微积分知识；其它内容（诸如数学分析、实分析、复分析、傅里叶分析、泛函分析等）不做展开和深入讨论。（2）在教材推荐、学习路线、以及在线课程推荐部分，将就微积分、数学分析、实分析、复分析、傅里叶分析、泛函分析等分析学的各个方面做全面介绍，以便对分析学能力有更高要求的读者获得全方面的学习资源，方便自学。

首先搞明白一个问题：为什么要学习微积分，它是干什么用的？简单来说，微积分是一门关于变化的学问。比如我们都知道物体的质量=体积×密度，如果密度是不变的，知道体积后，直接两者相乘就完事了。但是如果物体的密度是根据空间位置而变化的呢？这个时候有无数个密度，该用哪个密度乘上体积呢？显然就没有那么简单了。再比如，求车辆行驶的距离时用公式“距离=速度×时间”，如果速度是不断变化的，就不能简单这样计算了。看到没有，当研究某些不断变化的情形时，此时派微积分这个高手上场，则能一击即中。

其次，微积分到底学些啥？估计会有人脱口而出：“微分学和积分学！”好了，那微分学和积分学又到底学些什么呢？图 3-3大致描绘了微积分的主要内容。先看微分学，微学分主要分为一元函数微分学和多元函数微分学等内容。一元函数微分学中包含了一元函数的导数、微分等重要内容，而多元函数微分学中则包含了多元函数的偏导数、全微分、极值等重要内容。再看积分学，积分学主要包含了一元函数积分学和多元函数积分学等内容。一元函数积分学主要由一元函数的不定积分、定积分等内容构成，多元函数积分学主要由二重积分、三重积分等内容构成。

图 3-3 微积分的主要内容

上面已经讨论过微积分的主要内容，那么微积分的哪些知识是AI所必须的呢？图 3-4列出了学习AI必须知道的微积分知识。此图中列出的导数的基本概念、常见的求导方法和求导公式、积分的基本概念、常见的求积分方法及求积分的公式等内容在一般的微积分教材或数学分析教材中都有阐述，且比较容易理解，这里不再赘述。下面论述其余的几个重要内容。

图 3-4 学习AI必须知道的微积分知识

1. 梯度的基本概念和计算方法

对于给定的一个点，梯度表示某一函数在该点处的方向导数沿着梯度方向取得最大值，即函数在该点处沿着梯度方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。注意，梯度是一个向量。

梯度的作用在于：它可以帮助我们找到一个物理量或者函数值变化最快的方向，并能够告诉我们它变化的快慢。如果需要考察某一物理量或者函数值变化最快的方向和变化的快慢，就可以用梯度来描述，所以梯度可以应用和推广的范围非常广泛。

梯度在AI的很多领域都有着广泛的应用，最常见的应用包括：在最优化领域可以用于求函数的极值。例如，在机器学习中评价一个模型参数的好坏，往往通过计算该模型在不同参数下的损失函数值，如果哪一组参数的损失函数值达到最小，则该组参数即为最优。另外一个关于梯度的典型应用是寻找图像中物体的边缘。如图 3-5所示，图像中有黑白两个区域。怎么样才能检测到黑色矩形的四条边缘AB、BC、CD、DA？其基本原理是：边缘上各像素点的灰度梯度幅值非常大，而非边缘上各像素点的灰度梯度幅值接近于0。简单地说，对于AB、BC、CD、DA上的各像素点，由于其左右或者上下像素点的灰度值发生了显著变化，导致该像素点的灰度梯度幅值非常大，从而AB、BC、CD、DA被检测为边缘。

图 3-5 利用灰度梯度检测物体的边缘

2. 泰勒公式以及任意函数的泰勒逼近表示

泰勒公式是一个非常神奇的公式，因为它可以在某一点对函数进行多阶展开，最终实现用一个多项式函数来逼近原函数。在AI领域，泰勒公式经常用于计算目标函数的近似梯度，尤其在目标函数的导数难以计算时。

3. 函数求极值的方法：拉格朗日法

AI中的数学模型往往是有约束的最优化问题。对于有约束的最优化问题，一般采用拉格朗日法求极值。该方法是AI领域求极值时用到的最普遍方法之一，读者需要认真掌握。

4. 模型参数的估计方法：最小二乘法

最小二乘法是由著名的数学家高斯所提出。据其自传所言，在高中时高斯即有了最小二乘法的基本雏形，在后来进行大地测量工作时，高斯用此方法消除测量数据中的误差，至此最小二乘法得以成熟[4]。高斯在大地测量中的成功与他发明的最小二乘法密不可分。最小二乘法可以将名字拆分为“二乘”+“最小”两部分来理解。首先，构造二乘项，也就是完全平方表达式，用的最多的是误差的平方和；接下来对此二乘项求最小值，即可解得模型的待估计参数。在统计模型的参数估计、GPS坐标与城市坐标转换模型的参数估计等许多AI的应用领域都用到了最小二乘法，所以此方法非常重要。

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