POJ-2438 哈密顿环哈密瓜很甜

无向图经过所有的节点一次且仅一次：哈密瓜路径

无向图经过所有的边一次且仅一次：欧拉路径

带权哈密顿路径就是旅行商问题。

参考博客：https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81278942

过程:

1:任意找两个相邻的节点S和T,在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径.即如果S与结点v相邻,而且v不在路径S -> T上,则可以把该路径变成v -> S -> T,然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展,直到无法继续扩展为止,即所有与S或T相邻的节点都在路径S -> T上.

2:若S与T相邻,则路径S -> T形成了一个回路.

3:若S与T不相邻,可以构造出来一个回路.设路径S -> T上有k+2个节点,依次为S, v1, v2, ..., vk, T.可以证明存在节点vi(i属于[1, k]),满足vi与T相邻,且vi+1与S相邻.找到这个节点vi,把原路径变成S -> vi -> T -> vi+1 ,即形成了一个回路.

4:到此为止,已经构造出来了一个没有重复节点的的回路,如果其长度为N,则哈密顿回路就找到了.如果回路的长度小于N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路之外的点相邻.那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径,同时还可以将与之相邻的点加入路径.再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来.接着回到路径2.

证明:

跟据鸽巢定理，既然与S和T相邻的点都在路径上，它们分布的范围只有v1,v2---,vk这k个点，k<=N-2，跟据哈密顿回路的第一个判断条件，d(S)+d(T)>=N，那么v1,v2,---vk这k个点中一定有至少2个点同时与S和T相连，根据鸽巢定理，肯定存在一个与S相邻的点vi和一个与T相邻的点vj，满足j=i+1

伪代码:

设s为哈密顿回路的起始点,t为哈密顿回路中终点s之前的点.ans[]为最终的哈密顿回路.倒置的意思指的是将数组对应的区间中数字的排列顺序反向.

1:初始化,令s = 1,t为s的任意一个邻接点.

2:如果ans[]中元素的个数小于n,则从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]的尾部,并且t=v,并继续扩展,如无法扩展进入步骤3.

3:将当前得到的ans[]倒置,s和t互换,从t开始向外扩展,如果有可扩展点v,放入ans[]尾部,并且t=v,并继续扩展.如无法扩展进入步骤4.

4:如果当前s和t相邻,进入步骤5.否则,遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与t相连并且ans[i +１]与ｓ相连,将从ans[i + 1]到t部分的ans[]倒置,t=ans[i +１],进如步骤5.

5:如果当前ans[]中元素的个数等于n,算法结束,ans[]中保存了哈密顿回路(可看情况是否加入点s).否则,如果s与t连通,但是ans[]中的元素的个数小于n,则遍历ans[],寻找点ans[i],使得ans[i]与ans[]外的一点(j)相连,则令s=ans[i - 1],t = j,将ans[]中s到ans[i - 1]部分的ans[]倒置,将ans[]中的ans[i]到t的部分倒置,将点j加入到ans[]的尾部,转步骤2.

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;const int maxn=410;
int ans[maxn];
int visit[maxn];// in case of reoccurrence
int friendt[maxn][maxn];
int n,m;
int s,t;
int num;void rever(int s,int t){while(s<t){int tmp=ans[s];ans[s]=ans[t];ans[t]=tmp;s++;t--;}
}void hamilton()
{s=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(friendt[s][i]){t=i;break;}}ans[0]=s;ans[1]=t;num=2;//cout<<s<<" "<<t<<endl;memset(visit,0,sizeof(visit));visit[s]=1;visit[t]=1;int v;while(1){while(1){v=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(friendt[t][i]&&!visit[i]){v=i;break;}}if(v){ans[num++]=v;t = v;visit[v]=1;}else break;}//cout<<t<<endl;rever(0,num-1);int tmp=s;s=t;t=tmp;while(1){v=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(friendt[t][i]&&!visit[i]){v=i;break;}}if(v){ans[num++]=v;t = v;visit[v]=1;}else break;}if(!friendt[s][t]){for(int i=1;i<num-2;i++){if(friendt[ans[i]][t]&&friendt[ans[i+1]][s]){rever(i+1,num-1);t=ans[i+1];break;}}}if(num==n)return;int ind,j;for(int i=1;i<=n;i++){if(!visit[i]){j=i;break;}}for(int k=1;k<num-2;k++){if(friendt[ans[k]][j]){ind=k;break;}}s=ans[ind-1];t=j;rever(0,ind-1);rever(ind,num-1);ans[num++]=j;visit[j]=1;}
}int main()
{//freopen("in.txt","r",stdin);while(cin>>n>>m&&(n||m)){n = 2*n;//cout<<n<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(j==i)friendt[i][j]=0;else friendt[i][j]=1;}for(int i=0;i<m;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);friendt[a][b]=0;friendt[b][a]=0;}num=0;hamilton();for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",ans[i]);cout<<endl;}return 0;
}

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