动态规划之股票买卖系列问题

文章目录

一、股票买卖系列问题
二、leetcode例题讲解股票买卖系列问题
- 121. 买卖股票的最佳时机
- 122. 买卖股票的最佳时机 II
- 123. 买卖股票的最佳时机 III
- 188. 买卖股票的最佳时机 IV
- 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
- 714. 买卖股票的最佳时机含手续费

动态规划问题还有一系列股票买卖的经典问题。在这里进行汇总学习。

一、股票买卖系列问题

121. 买卖股票的最佳时机：股票只能买卖一次。

122. 买卖股票的最佳时机 II：股票可以多次买卖。

123. 买卖股票的最佳时机 III：股票最多买卖两次。

188. 买卖股票的最佳时机 IV：股票最多买卖k次。

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期：买卖多次，卖出有1天的冷冻期。

714. 买卖股票的最佳时机含手续费：买卖多次，每次有手续费。

股票买卖系列问题从买买一次到买卖多次，从最多买卖两次到最多买卖k次，从冷冻期再到手续费涵盖多种情况，通过各种情况的处理可以对动态规划有更充分的认识。（同时有的题目贪心算法求解更为简单也会附上相关解法。）

二、leetcode例题讲解股票买卖系列问题

121. 买卖股票的最佳时机

leetcode题目链接：121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例一：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例二：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最大利润。

其实一开始利润是0，那么加入第i天买入股票利润就是 -prices[i]，这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最大利润。

“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态。

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来：

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得利润就是昨天持有股票的所得利润即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得利润就是买入今天的股票后所得利润即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得利润最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，也可以由两个状态推出来：

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得利润即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得利润就是按照今天股票佳价格卖出后所得利润即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

3.dp数组如何初始化

dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] = -prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么利润就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java实现代码：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if (prices == null || prices.length == 0) return 0;int length = prices.length;// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益int[][] dp = new int[length][2];int result = 0;dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);}return dp[length - 1][1];}
}

这里介绍一下贪心算法：

计算更新前i-1最低价格，计算最大利润。

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int profit = 0, cost = Integer.MAX_VALUE;// profit 更新最大利润， cost更新前i-1最低价格for(int price : prices){cost = Math.min(cost, price);profit = Math.max(profit, price - cost);}return profit;}
}

122. 买卖股票的最佳时机 II

leetcode题目链接：122. 买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例一：

输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例二：

输入: prices = [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例三：

输入: prices = [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最大利润。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最大利润。

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]，那么可以由两个状态推出来

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注：这里是与上一题唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

在上一题中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的利润可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得利润减去今天的股票价格即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

如果第i天不持有股票即dp[i][1]，还和之前相同，由两个状态推出来：

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得利润即：dp[i - 1][1]
第i天卖出股票，所得利润就是按照今天股票佳价格卖出后所得利润即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

3.dp数组如何初始化

dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] = -prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么利润就是0，所以dp[0][1] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java实现代码：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp = new int[prices.length][2];dp[0][0] = - prices[0];dp[0][1] = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++){dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);}return dp[prices.length-1][1];}
}

这里再介绍一下贪心算法的实现：

因为交易次数不受限，如果可以把所有的利润全部收集到，一定是利益最大化的。

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {// 1.贪心算法，只要后一天比前一天大，就把差值加一下int res = 0;for(int i = 1; i < prices.length; i++){if(prices[i] > prices[i-1]){res += prices[i] - prices[i-1];}}return res;}
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

leetcode题目链接：123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例一：

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例二：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例三：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

一天一共就有五个状态，
0.没有操作
1.第一次买入
2.第一次卖出
3.第二次买入
4.第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大利润。

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作利润为0，

从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。

所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有利润，只要买入，利润就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java代码实现：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if(prices.length == 0) return 0;/*定义5种状态0：没有操作， 1.第一次买入，2.第一次卖出，3.第二次买入，4.第二次卖出*/// dp[i][j] 表示第i天状态j获得的最大利润int[][] dp = new int[prices.length][5];dp[0][1] = - prices[0];// 初始化第二次买入的状态是确保结果是最多两次买卖的最大利润dp[0][3] = - prices[0];for(int i = 1; i < prices.length; i++){dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]);dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]);}return dp[prices.length-1][4];}
}

动态规划 + 空间优化

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if(prices.length == 0) return 0;/*定义5种状态0：没有操作， 1.第一次买入，2.第一次卖出，3.第二次买入，4.第二次卖出*/// 空间优化int[] dp = new int[5];dp[1] = - prices[0];dp[3] = - prices[0];for(int i = 1; i < prices.length; i++){dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]);dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i]);dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i]);dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i]);}return dp[4];}
}

dp[2]利用的是当天的dp[1]。但结果也是对的。

dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]); 如果dp[1]取dp[1]，即保持买入股票的状态，

那么 dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中dp[1] + prices[i] 就是今天卖出。

如果dp[1]取dp[0] - prices[i]，今天买入股票，那么dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中的dp[1] + prices[i]相当于是尽在再卖出股票，一买一卖收益为0，对所得利润没有影响。

相当于今天买入股票又卖出股票，等于没有操作，保持昨天卖出股票的状态了。

188. 买卖股票的最佳时机 IV

leetcode题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例一：

入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例二：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

解题思路：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所获得的最大利润是dp[i][j]
j 的状态：
0.没有操作
1.第一次买入
2.第一次卖出
3.第二次买入
4.第二次卖出
5.……

除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

2.确定递推公式

本题和上一题的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖剩的状态。

for(int i = 1; i < prices.length; i++){for(int j = 0; j < 2*k-1; j+=2){dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);}
}

3.dp数组如何初始化

dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

dp[0][j]当j为偶数的时候都初始化为 0

for(int i = 1; i < 2*k; i+=2){dp[0][i] = -prices[0];
}

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java代码实现：

class Solution {public int maxProfit(int k, int[] prices) {if(prices.length == 0) return 0;// dp[i][j] 表示第i天状态j获得的最大利润。/*j的状态0 无操作1 第一次买入2 第一次卖出3 第二次买入4 第二次卖出5 ……至多k次交易，则j的取值范围定义为 2 * k + 1*/// 二维 dp 数组，[天数][股票状态]// 股票状态，奇数表示第k次交易持有/买入，偶数表示不持有/卖出，0无操作int[][] dp = new int[prices.length][2 * k + 1];// 初始化，奇数次，买入则赋值为-prices[0]for(int i = 1; i < 2*k; i+=2){dp[0][i] = -prices[0];}for(int i = 1; i < prices.length; i++){for(int j = 0; j < 2*k-1; j+=2){dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);}}return dp[prices.length-1][2*k];}
}

空间优化，一维dp数组：

class Solution {public int maxProfit(int k, int[] prices) {if(prices.length == 0) return 0;// 空间优化，一维dp数组int[] dp = new int[2 * k + 1];// 初始化，奇数次，买入则赋值为-prices[0]for(int i = 1; i < 2*k; i+=2){dp[i] = -prices[0];}for(int i = 1; i < prices.length; i++){for(int j = 0; j < 2*k-1; j+=2){dp[j+1] = Math.max(dp[j+1], dp[j] - prices[i]);dp[j+2] = Math.max(dp[j+2], dp[j+1] + prices[i]);}}return dp[2*k];}
}

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

leetcode题目链接：309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例一：

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

解题思路：

相对于122. 买卖股票的最佳时机 II，本题加上了一个冷冻期。冷冻期什么也不能干，冷冻期结束转为不持股状态。

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

二维数组 dp[i][0] ：第i天不持股所获得的最大利润

dp[i][1] ：第i天持股所获得的最大利润

dp[i][2] ：第i天冷冻期所获得的最大利润

这里把 0 和 1的状态和Ⅱ的弄反了，不过不影响，自己理清楚就行。

2.确定递推公式

第 i 天不持股可以从两种状态转移，：

第 i-1 天不持股，第 i 天仍不买 dp[i][0] = dp[i-1][0]；
冷冻期结束了，但不买 dp[i][0] = dp[i-1][2]；

所以 dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][2]);

第 i 天持股可以从两种状态转移，

第 i-1 天不持股，分为 i-1 天是冷冻期，结束后转为不持股状态和第 i-1 天本身就不持股，然后买入 dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
第 i-1 天持股，第 i 天不卖出 dp[i][1] = dp[i-1][1]

所以：dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i-1][1]);

第 i 天处于冷冻期的状态：

第 i-1 天卖出

所以：dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i];

只有最后一天不持股或者前一天已经卖掉（今天为冷冻期），最大值在二者之间产生。

3.dp数组如何初始化

dp[0][1]当持股的时候都初始化为 -prices[0]

dp[0][0]不持股和dp[0][2]冷冻期都初始化为 0

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java代码实现：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {// 动态规划，相比2多了一个冷冻期，冷冻期什么也不能干，冷冻期结束转为不持股状态if(prices.length == 0) return 0;int[][] dp = new int[prices.length][3]; // 0 不持股，1 持股，2 冷冻期dp[0][1] = - prices[0]; // 持股for(int i = 1; i < prices.length; i++){// 第i天不持股可以从两种状态转移， 1. 第i-1天不持股，第i天仍不买  2.冷冻期结束了，但不买dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][2]);// 第i天持股可以从两种状态转移， 1. 第i-1天不持股，分为i-1天是冷冻期，结束后转为不持股状态和第i-1天本身就不持股，然后买// 2.第i-1天持股，第i天不卖出dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i-1][1]);// 只有第i-1天卖出，第i天才处于冷冻期dp[i][2] = dp[i-1][1] + prices[i];}// 只有最后一天不持股或者前一天已经卖掉（今天为冷冻期），最大值在二者之间产生return Math.max(dp[prices.length-1][0], dp[prices.length-1][2]);}
}

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

leetcode题目链接：714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例一：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例二：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

解题思路：

相对于122. 买卖股票的最佳时机 II，本题只需要在计算买入（也可以选择卖出）操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

二维数组：

dp[i][0] ：第i天不持股所获得的最大利润

dp[i][1] ：第i天持股所获得的最大利润

这里把 0 和 1的状态和Ⅱ的弄反了，不过不影响，自己理清楚就行。

2.确定递推公式

如果第i天不持有股票即dp[i][0]的情况，可以由两个状态推出来：

第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得利润就是昨天不持有股票的所得利润即：dp[i - 1][0]
第i天卖出股票，所得利润就是按照今天股票价格卖出后所得利润，即：dp[i - 1][1] + prices[i]

所以：dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);

如果第i天持有股票即dp[i][1]，那么可以由两个状态推出来：

第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得利润就是昨天持有股票的所得利润即：dp[i - 1][1]
第i天买入股票，所得利润就是昨天不持有股票的所得利润减去今天的股票价格，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] - prices[i] - fee

所以：dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee);

3.dp数组如何初始化

dp[0][0] 当不持股的时候都初始化为 0

dp[0][1] 当持股的时候都初始化为 -prices[0] - fee

4.确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是有dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

5.举例推导DP数组

省略。

Java代码实现：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {// 动态规划，含手续费的股票交易int[][] dp = new int[prices.length][2];dp[0][0] = 0;  // 不持股dp[0][1] = - prices[0] - fee; // 持股for(int i = 1; i < prices.length; i++){dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee);}return dp[prices.length-1][0];}
}

空间优化，减少状态变量：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {// 动态规划，减少状态变量int a = 0;  // 表示今日手里   没有股票的最大收益。int b = Integer.MIN_VALUE;  // 表示今日手里   有股票的的最大收益。for (int price : prices) {// 没有股票，可能昨天就没有，或者昨天有，今天出手了。a = Math.max(a, b + price);// 有股票，可能昨天就有，或者今天刚买的。b = Math.max(b, a - price - fee);}return a;}
}

贪心算法：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {// 贪心算法，int n = prices.length;int buy = prices[0] + fee;int profit = 0;for (int i = 1; i < n; ++i) {if (prices[i] + fee < buy) {buy = prices[i] + fee;} else if (prices[i] > buy) {profit += prices[i] - buy;buy = prices[i];}}return profit;}
}

以上就是动态规划股票买卖的一系列题目。问题逐步变化，需要理清的主要是状态的设置。有的题两个状态，有的题多个状态。

动态规划其它题型总结：

动态规划之背包问题——01背包

动态规划之背包问题——完全背包

动态规划之打家劫舍系列问题

动态规划之子序列问题