数学建模培训笔记记录--8.3
建立数学模型及线性规划 | 优化
例1. 椅子问题
椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析：
通常~三只脚着地 放稳~四只脚着地
模型假设：
- 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形。
- 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面。
- 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型构成：
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
椅子位置：利用正方形的对称性用θ(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
四只脚着地：
AC两脚与地面距离之和~~f(θ)
BD两脚与地面距离之和~~g(θ)
数学问题：
地面为连续曲面–>f(θ)，g(θ)是连续函数
椅子在任意位置至少三只脚着地–>对任意θ，f(θ)，g(θ)至少一个为0
已知：f(θ)，g(θ)是连续函数；对任意θ，f(θ)·g(θ)=0；且g(0)=0，f(0)>0。
证明：存在θ1，使得f(θ1)=g(θ1)=0。
模型求解：
将椅子旋转90°，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(Π/2)=0 , g(Π/2)>0.
令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(Π/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ1 , 使h(θ1)=0, 即f(θ1) = g(θ1) .
因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ1) = g(θ1) = 0.
例2. 公平分配席位
模型构成：
| 人数 | 席位 | |
|---|---|---|
| A方 | P1 | n1 |
| B方 | P2 | n2 |
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配，即设A,B已分别有n1,n2 席，若增加1席，问应分给A， 还是B。
Q值方法：定义Qi = pi^2/ni(ni+1)，i=1，2，该席给Q值最大的一方。
问题求解：
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
| 甲系 | P1=103 | n1=10 |
|---|---|---|
| 乙系 | P2=63 | n2=6 |
| 丙系 | P3=34 | n3=3 |
用Q值方法分配第20、21席
第20席：
Q1=103x103/10x11=96.4，
Q2=63x63/6x7=94.5，
Q3=34x34/3x4=96.3，
Q1最大，第20席给甲系。
第21席：
Q1=103x103/11x12=80.4，Q2，Q3同上，Q3最大，第21席给丙系。
分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席。
例3. 双层玻璃窗的功效
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