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数学建模培训之四--拟合与插值专题(hzd).doc69页

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幻灯片1

2014数学建模集训班

----拟合与插值专题

幻灯片2

一 引言

在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。

一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。

另一种方法是曲线拟合。人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。

本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容；掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。

幻灯片3

二、拟合和插值

数据拟合主要是考虑到观测数据受随机观测误差的影响，进而寻求整体误差最小、能较好反映观测数据的近似函数y = f (x)，此时并不要求所得到的近似函数y = f (x)满足

函数插值则要求近似函数y = f (x)在每一个观测点 处一定要满足

在这种情况下，通常要求观测数据相对比较准确，即不考虑观测误差的影响。

幻灯片4

内容提纲

1.拟合问题引例及基本理论

2.Matlab求解拟合问题

3.应用实例

4.插值问题引例及基本理论

5.Maltab求解插值问题

6.应用实例

幻灯片5

拟合问题

幻灯片6

在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近(或拟合)实验数据。这种逼近的特点是：

(a) 适度的精度是需要的；

(b) 实验数据有小的误差；

(c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。

幻灯片7

曲 线 拟 合 问 题 的 提 法

已知一组(二维)数据，即平面上 n个点(xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 (最小二乘法)

y=f(x)

?i 为点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离

幻灯片8

数据拟合基本方法

逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最小二乘拟合。

曲线拟合问题的数学描述是，已知一组(二维)数据 即平面上的n个点 互不相同。寻求一个函数(曲线)y = f (x)，使f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合。

幻灯片9

拟 合 问 题 引 例 1

温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7

电阻R(?) 765 826 873 942 1032

已知热敏电阻数据：

求600C时的电阻R。

设 R=at+b

a,b为待定系数

幻灯片10

拟 合 问 题 引 例 2

求血药浓度随时间的变化规律c(t).

作半对数坐标系(semilogy)下的图形

MATLAB(aa1)

幻灯片11

3.1 线性最小二乘拟合

线性最小二乘法是解决曲线拟合问题最常用的方法，基本思路是，令

(1.1)

其中 是一组事先选定的线性无关

的函数， 是一组待定系数。寻求系数

使得 与 的距离 的平方和最小。这种准则称为最小二乘准则，其求系数

的方法称为线性最小二乘拟合方法。

幻灯片12

2、 函数组 的选取

面对一组数据 ，用线性最小二乘法作曲线拟合时，首要的、也是关键的一步是恰当地选取

如果通过机理分析，能够知道y 与x之间应该有什么样的函数关系，则 容易确定。

若无法知道y 与x之间的关系，通常可以将数据 作图，直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。

幻灯片13

人们常用的曲线有

(1)直线

(2)多项式

(3)双曲线(一支) ，拟合前作变量替换t=1/x,求解a1,a2较简单。

(4)指数曲线 ，拟合前作变量代换z=lny,t=1/x,则指数曲线转化为线性函数 ,求解a1,a2较简单。

幻灯片14

线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中函数{r1(x), …rm(x)}的选取

1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；

2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)：

幻灯片15

曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路

第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m

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