线性卷积(linear convolution) 在时域描述线性系统输入和输出之间关系的一种运算。这种运算在线性系统分析和信号处理中应用很多，通常简称卷积。中文名：数字信号处理

中文名

线性卷积

外文名

linear convolution应用学科

通信

特    点

卷积、线性

线性卷积定义

编辑

对于线性非时变离散时间系统来说，若序列x(n)是系统的输入，h(n)是系统在单位脉冲作用下的单位脉冲响应，则由于输入序列x(n)可表示为一系列脉冲的线性组合，所以，根据线性系统的叠加性质，系统的输出在系统初始不储能的条件下(零状态响应)可由图1式求得。

图1

上式在运算过程存在序列的翻转、移位、相乘和相加，所以称为卷积和。x(n)*h(n)表示两个序列相卷积的运算符号，故式①也就是卷积的定义式。为了与离散傅里叶变换的循环卷积以及周期序列的周期卷积相区别，通常所指的卷积又称为线性卷积。卷积运算符合交换率，可写成另一种等效形式。

图2

线性卷积的计算可以用解析法，也可以用图解法。若两 个序列的长度分别为N1和N2，则卷积结果的总长度应为L=N1+N2-1。

同理，对线性非时变连续系统来说，若连续时间信号x(t)是系统的输入，h(t)是系统在单位脉冲作用下的单位冲激响应，则系统在零状态的输出为它们的卷积积分。

线性卷积是数字信号处理中最常见的一种基本运算，不仅用于系统分析还用于系统设计。如果代表滤波器的脉冲响应则卷积运算就是一种线性滤波，y(n)是信号x(n)通过滤波器后的响应。

线性卷积基本理论

编辑

线性卷积是对线性移不变(LSI)系统的输入输出关系的描述，体现系统的特性。

图3

线性卷积的表达式为图3，一般情况，现实的系统为因果系统，有k<0时，恒有h(k)=0，则如图4，此时输出y(n)也为因果信号。

若x(n)是一个N点序列，h(n)是一个m点序列，则卷积的结果y(n)将是L=N+M-1点的序列。

卷积是一种典型的乘累加运算，非常适合在DSP处理器上实现。[1]

图4

线性卷积卷积性质

编辑

(1)结合律：三个序列卷和运算，任意两个序列先卷和运算，再与第3个序列作卷和运算，其运算结果等同。即

φ1(t)k1(t)ρ1(t)=k1(t)ρ1(t)φ1(t)=ρ1(t)φ1(t)k1(t)。

(2)交换律：离散序列卷和运算满足交换律，即两序列卷和运算与卷和次序无关，即　 φ1(t)·φ2(t)=φ2(t)·φ1(t)。

(3)分配律：两个序列先行相加运算再与第3个序列做卷和运算，其结果等于这两个序列分别与第3个序列先做卷和运算，然后二者再相加。

φ1(t)·a+φ2(t)·a=[φ1(t)+φ2(t)]·a。

(4)在线的数中不能有卷积的微分，有线性卷积，但是公式保持不变。

可以用导数的表达式定义，有lim,S 指数，F函数值，i速度值据二级导数分析和导数定义可以有极限纯在极限值和函数值可以属于值可以属于 lim，阿基米德螺线和三等分角的指数角，直角，角圆中，新等角螺螺线对数中值定律和斜行螺线对数中值的导数二阶段，歪曲福轴制金达平行定律中指数F，复数I，导数lim中，属于高数数学定律的符号，如图楼下为定律符号运用和定律运用。

可以用基本音知，可以用开始的音乐中的音质降调调位整位整调保持音准趋势向下二同G调g大点n级或f级，而在音质上调调位整调保持了单音准或多音准的控制，达到听觉和试听音知放松即可。

线性卷积线性卷积的matlab实现

编辑

function y=conv(x,h,show_flag)

% 线性卷积的实现 y=x*h

% if show_flag=1 plot x and result in matlab

%

if nargin < 3

show_flag = 0;

end

N = length(x);

M = length(h);

L = M+N-1;

y = zeros(L,1);

for n=1:N

for k=1:M

y(n+k-1) = y(n+k-1) + x(n)*h(k);

end

end

if show_flag == 1

figure,

max_val = max([max(y),max(x),max(h)]);

subplot(2,2,1),stem(x);title('x(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

subplot(2,2,2),stem(h);title('h(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

subplot(2,2,3),stem(y);title('y(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

end[2]

线性卷积线性卷积与圆周卷积

编辑

离散线性卷积的定义：设长度为N1的序列x(n)和长度为N2的序列h(n)进行线性卷积，得到长度为N1+N2-1的y(n)如图5。

图5

离散圆周卷积的定义：圆周卷积是定义在有限长序列之间的。设有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定义它们的N点圆周卷积为如图6。

圆周卷积与线性卷积之间的关系：当有限长序列x(n)和h(n)的长度分别为N1和N2，取N>=max(N1,N2)，当N>=N1+N2-1，则线性卷积与圆周卷积相同。

图6

对于线性卷积，一般直接比较麻烦，由上可知当取点数足够多时(点数不够补零)，可求解圆周卷积即可，而圆周卷积又可通过FFT实现，从而实现线性卷积通过FFT和IFFT实现。

词条图册

更多图册

参考资料

1.

曹玉凡, 沈越泓, 袁志钢. 线性卷积信道混合模型下WSDM的解决方法[J]. 通信技术, 2015, 48(12):1329-1333.

2.

刘冰茹. 利用FFT计算线性卷积的实现方法[J]. 广东工业大学学报, 1999, 16(3):14-18.