一，树状数组的优点

前缀和的思想，可以通过O（n）的预处理，使得多次查询区间值都是o（1），但只能解决不修改，多次查询的问题。

差分思想，能通过差分数组，将区间修改变成O（1）的，最后通过一次O（n），可以恢复成原来的数组，但只能解决多次修改一次询问。

那有没有一种方法，一边修改一边询问，且时间复杂度是可以接受的呢？

当然有，那就是树状数组，代码量小，且可以实现上述操作

二，了解树状数组前置知识点

熟悉位运算，略微涉及补码和补码相关知识

1),补码是计算机中存储整数的方法

第一位是符号位，0表示正数，1表示负数

正数的原码反码补码，三码相同，下面讲的是负数的情况。

反码就是对原码进行取反操作（符号位不变，其他位取反）

补码就对原码先反码，然后再加一

例如：-8 原码：10001000 反码 11110111 补码 11111000

那如何通过上述知识来获取一个数字最后一位1呢？

我们以40为例，还是假设八位

Lowbit（40）=40&-40=00101000 & 11011000=00001000=8

&表示按位与，即全是1才为1

三，树状数组如何查询区间和

给定一个原数组A，下标 1~n ，

新建一个数组c ，让其中每一个数字，掌管一个区间和。

注：以下内容只需先理解是怎么运行，不用明白原理，因为后文会解释

c[x] 就掌管长度为lowbit（x）的范围，即掌管范围是[x-lowbit(x)+1,x]

这样要询问1~x的前缀和，可以先用lowbit（x）得到前缀里面的一段子区间和，然后x-lowbit(x)

重复操作得到其他区间和，因为只用算log次lowbit，所以log次lowbit便可以得到结果，所以求[L,R]，只要算两个前缀和，再相减即可。

下面为代码

int lowbit(int x){return x&(-x);
}int query(int x){ //求1~x的区间和 int ans=0;while(x){ans+=d[x];x-=lowbit(x);}return ans;
}

那么为什么可以这样呢？

首先先看一个树状数组的图

解释一下上图：A为原数组 C为树状数组（每一位存了他掌管的区间）即i-lowbit（i）+1到 i

C[1] lowbit（1）=1 范围 1-1

C[2] lowbit（2）=2 范围 1-2

C[3] lowbit（3）=1 范围 3-3

C[4] lowbit（4）=4 范围 1-4

C[5] lowbit（5）=1 范围 5-5

C[6] lowbit（6）=2 范围 5-6

C[7] lowbit（7）=1 范围 7-7

C[8] lowbit（8）=8 范围 1-8

而且有个重要性质当前节点位置i ，加上lowbit （i），即为它的父亲节点（可带入上图验证）

四，树状数组如何单点更新

若我们要让A i加上 4，那我们就让树状数组中全部包含A i的c i都加上 4

所以接下来就要求，找到包含Ai的所有区间 Ci

之前已经提过 lowbit 不光是掌控区间大小，还是当前点与父亲节点的距离

所以单点更新时，只要每次下标加lowbit ，且更新节点信息即可。

代码如下

void add(int x,int k){while(x<=n){d[x]+=k;x+=lowbit(x);}
}

完整代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int s[500050],d[500050];
int lowbit(int x){return x&(-x);
}void add(int x,int k){while(x<=n){d[x]+=k;x+=lowbit(x);}
}int query(int x){ //求1~x的区间和 int ans=0;while(x){ans+=d[x];x-=lowbit(x);}return ans;
}
signed main()
{ cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];}for(int i=1;i<=n;i++){add(i,s[i]);}for(int i=1;i<=m;i++){int op,x,k;cin>>op;if(op==1){cin>>x>>k;add(x,k);}else{cin>>x>>k;int sum1=query(k);int sum2=query(x-1);cout<<sum1-sum2<<endl;}}return 0;
}

五，树状数组的区间更新（还是推荐用线段树来维护区间更新）

树状数组是可以支持区间更新的，但是线段树在思维上更有优势，并且可拓展性强

A 还是原数组，D 表示差分数组，D[i]=A[i]-A[i-1]，且让D1=A1

这样我们用树状数组Ci来维护Di这个差分数组，而不是Ai原数组

求Ai变成了D1 到Di的前缀和，用树状数组实现

如过要让 L-R区间加上x ，就变成了单点更新，即让D[L] 加x D[R+1] 减去x

ok下面是区间更新，单点查询完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int s[500050],d[500050];
int lowbit(int x){return x&(-x);
}void add(int x,int k){while(x<=n){d[x]+=k;x+=lowbit(x);}
}int query(int x){ //求1~x的区间和 int ans=0;while(x){ans+=d[x];x-=lowbit(x);}return ans;
}
signed main(){ cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];}for(int i=1;i<=n;i++){add(i,s[i]-s[i-1]); }for(int i=1;i<=m;i++){int op;cin>>op;if(op==1){int x,y,k;cin>>x>>y>>k;add(x,k);add(y+1,-k);}else{int x;cin>>x;cout<<query(x)<<endl;}}return 0;
}

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