树状数组详解（附图解，模板及经典例题分析）

导言

深藏于算法与数据结构中的思想非常的美妙，尤其是当我们一个一个攻克其中的难点，体会其中蕴含的"哲理"时， A 题的自信力也会有所增加，心情也会格外的舒爽。最近重新接触了树状数组和线段树的题目，决定对其进行一定程度上的系统梳理，并与大家分享，如有不足之处，还请指教，大家共同进步

树状数组

1.基本概念

顾名思义，就是像树一样的数据结构，与 Trie 树类似，其结构类型为完全二叉树，节点排列非常的有规律，故我们直接可以使用数组来模拟，以达到简洁而高效的目的

假设我们有一长为 n 的序列 {a1, a2 , ····，an}, 进行以下操作

（1） 单点修改 \color{Orange}单点修改单点修改: add(x， v)

表示在第 x 位置上加上一个数值 v

（2） 区间查询 \color{Orange}区间查询区间查询: query(x)，x <= n

表示区间 [1, x] 上的和，即 query(x) = a1 + a2 + ··· + ax。那么我们可以得出区间[x, y] 上的区间和即为 query(y) - query(x - 1) (前缀和思想)

对于上述操作在 n很小的情况下，我们完全可以使用差分与前缀和来操作，复杂度是 O(n）。但是，如果 n很大的情况下，这样的做法效率就会非常低。此时我们就需要一种高效的数据结构来用空间换取时间，也就是树状数组

2.原理推导及如何建立树状数组

如下图所示，我们有

数组A：传入数据的原数组
数组C：建立起来的树状数组

( 1 ) 区间查询 − − O ( l o g n ) \color{Turquoise}(1) 区间查询 - -O(logn) (1)区间查询−−O(logn)

从图中我们可以得出，对于树状数组 C 来说

C [ 1 ] \color{green}C[ 1 ] C[1] = A[ 1 ]

C [ 2 ] \color{green}C[ 2 ] C[2] = A[ 2 ] + C [ 1 ] \color{green}C[ 1 ] C[1]

C [ 3 ] \color{green}C[ 3 ] C[3] = A[ 3 ]

C [ 4 ] \color{green}C[ 4 ] C[4] = A[ 4 ] + C [ 3 ] \color{green} C[ 3 ] C[3] + C [ 2 ] \color{green}C[ 2 ] C[2]

C [ 5 ] \color{green}C[ 5 ] C[5] = A[ 5 ]

C [ 6 ] \color{green}C[ 6 ] C[6] = A[ 6 ] + C [ 5 ] \color{green}C[ 5 ] C[5]

C [ 7 ] \color{green}C[ 7 ] C[7] = A[ 7 ]

C [ 8 ] \color{green}C[ 8 ] C[8] = A[ 8 ] + C [ 7 ] \color{green}C[ 7 ] C[7] + C [ 6 ] \color{green}C[ 6 ] C[6]+ C [ 4 ] \color{green}C[ 4 ] C[4]

~~~~~~ = A[ 1 ] + A[ 2 ] + A[ 3 ] + A[ 4 ] + A[ 5 ] + A[ 6 ] + A[ 7 ] + A[ 8 ]

初步发现，对于每一个 C[ x ]，我们有

若 x 为 奇数 \color{Orange}奇数奇数，C[ x ] = A[ x ]
若 x 为 偶数 \color{Orange}偶数偶数，则不然:

C[ 2 ] = A[ 2 ] + A[ 1 ]

C[ 4 ] = A[ 4 ] + A[ 3 ] + A[ 2 ] + A[ 1 ]

C[ 6 ] = A[ 6 ] + A[ 5 ]

C[ 8 ] = A[ 8 ] + A[ 7 ] + A[ 6 ] + A[ 5 ] + A[ 4 ] + A[ 3 ] + A[ 2 ] + A[ 1 ]

根据数学归纳可以得出，此时 C [ x ] = A [ x − 2 k + 1 ] + A [ x − 2 k + 2 ] + A [ x − 2 k + 3 ] + ⋅ ⋅ ⋅ + A [ x ] C[ x ] = A[x - 2^k + 1] + A[x - 2^k + 2] + A[x - 2^k + 3] +···+ A[x] C[x]=A[x−2k+1]+A[x−2k+2]+A[x−2k+3]+⋅⋅⋅+A[x]

带入发现对于 X 为奇数时，也满足这个规律，所以在树状数组中，

（核心） \color{Red}（核心）（核心） C[ x ] 表示区间【 x − 2 k + 1 , x 】 \color{sKyblue}【x - 2^k + 1, ~x】【x−2k+1, x】的和

k 表示 x 的二进制表示中从最低位到最高位连续零的长度，也就是最后一位 1 的位置，我们可以通过一个名为 l o w b i t \color{Maroon}lowbit lowbit 的操作将其求出

int lowbit (int x)
{return x & -x ;//返回 x 的最后一位 1
}

如 x = 1010，则 lowbit（x）= 10

x = 101000，则lowbit（x）= 1000

所以， C[ x ] = 【 x − 2 k + 1 , x 】【x - 2^k + 1, ~x】【x−2k+1, x】

= 【 x − l o w b i t ( x ) + 1 , x 】 \color{sKyblue}【x - lowbit(x) + 1, ~x】【x−lowbit(x)+1, x】的和

有了以上结论，对于树状数组来说，我们如何求出下图区间【1， x】的区间和呢？

既然 C[ x ] 表示区间【x - lowbit（x） + 1， x】的和，那么【1， x】区间的和就是 C[ x ] + 递归段，即 C[ x ] + C[ x - lowbit(x) ] + ··· + C[ 1 ]

int query(int x)// 求出区间 【1 ，x】的和
{int ans = 0;for(int i = x; i ; i -= lowbit(i))ans += c[i];return ans;
}

( 2 ) 单点修改 − − O ( l o g n ) \color{Turquoise}(2) 单点修改- - O(logn) (2)单点修改−−O(logn)

对于单点修改，也就是 在某个位置 x 加上一个数值 V，如下图所示，假设我们对数组C[ 3 ]位置进行更新时，那么它相应的父亲节点存储的和也需要进行更新，可以发现更新就是一个 “爬树” 的过程。一直把修改信息往上传递，直到到达树的最大高度，也就是树状数组的最大容量 MAXN

对于区间查询，我们可以形象化为一个 “下树” 的过程，那么单点修改可以看作它的 “逆运算”，即往高的区间走，所以我们就可以得到下列单点修改的代码段了:

const int MAXN = 100010;
void add(int x, int v)
{for(int i = x; i < MAXN; i += lowbit(i) )c[i] += v;
}

关于树状数组的正确性证明，大家感兴趣的话可以参考一下这篇博客树状数组正确性证明

3.代码模板

目前为止，我们尚未提及如何来用原数组 A 来初始化树状数组 C，其实对于树状数组的初始化，我们主要有两种方式

暴力构造树状数组 C [ x ] \color{Red}暴力\color{White}构造树状数组 C[x] 暴力构造树状数组C[x] : 就是直接对每个位置 x 进行一次单点修改，一共进行 n 次操作，时间复杂度为 O ( n l o g n ) \color{Purple}O(nlogn) O(nlogn)
```
void init()
{for(int i = 1; i <= n; i ++ )add(i, a[i]);
}
```
线性构造树状数组 C [ x ] \color{Green}线性\color{White}构造树状数组 C[x] 线性构造树状数组C[x]：考虑到树状数组的本质，我们知到一个C[x] 管辖的区域是【x - lowbit(x) + 1 ，x】中所有数的和，所以我们可以先对数组A求一个前缀和，利用前缀和 S[ x ] - S[x - lowbit(x)] 来更新数组C[x]，即 C[ x ] = S[x] - S[x - lowbit(x)]，这样就能线性构造了，时间复杂度为 O ( n ) \color{Purple}O(n) O(n)
```
void init()
{for(int i = 1; i <= n; i ++ )// 求a的前缀和s[i] = s[i - 1] + a[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )// 用前缀和求出cc[i] = s[i] - s[i - lowbit(i)];
}
```

故此我们即可得到完整的树状数组的模板

const int MAXN = 100010;
// 注意树状数组最大空间一般开到 1e5 + 10int a[MAXN];// 原数组
int c[MAXN];// 树状数组
int n; // 题目所给的数组 A 数据长度int lowbit(int x)// 返回最后一位 1，即 2^k
{return x & -x;
}
int query(int x)// 查询区间 [1, x] 的和
{int ans = 0;for(int i = x; i ; i -= lowbit(i))ans += c[i];return ans;
}
void add(int x, int v)//修改位置 x 的值
{for(int i = x; i < MAXN; i += lowbit(i))c[i] += v;
}
void init()// 初始化, 这里我选用O(nlogn)的方式
{for(int i = 1; i <= n; i ++ )add(i, a[i]);
}

以上内容尚未完全，随着今后学习的推进，我会继续对其进行补充与完善。另外，大家如果觉得我写的还行的话，还请赠予我一个可爱的赞，你的赞对于我是莫大的支持。

【预告】

树状数组的拓展及例题
线段树详解