最速下降法steepest descent详细解释

----------------------先闲聊几句------------------------------------
[1]首次提出了梯度下降法和最速下降法，既然柯西写出来了，所以这两个算法肯定不个一个东西,它们的区别是学习率是否恒定。
[4]提出了GoldStein法则

Wolfe准则以及Goldstein
[5][8]给出了具体的代码实现,
[6][7]中给出了手算steepest descent的例子

梯度的定义:
gradf(x,y,z)=∂f∂xi⃗+∂f∂yj⃗grad\ f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}grad f(x,y,z)=∂x∂fi+∂y∂fj

然后稍微整理下目前学过的凸优化的一些方法:
1.steepest descent(默认无约束凸优化,使用欧式范数就是梯度下降,使用Hessian范数就是牛顿法,参考[10])
2.牛顿法(二阶牛顿法求最小值,多维即可涉及Hessian矩阵,计算量巨大,备受吐槽)
3.拟牛顿法(DFP、BFGS、L-BFGS)
4.共轭梯度法

而且Armijo-Goldstein法则和Wolfe-power法则的应用則是包含在上述算法的line-search環節中的
这篇博文是对[2]里面的内容进行进一步详细的阐述

--------------------闲谈结束,下面开始伪代码--------------------------
文的重点是描述steepest descent的原理细节.

首先是steepest descent算法伪代码[6]:
1.取初始点X(0)X^{(0)}X(0),容许误差(精度)ϵ>0,k:=0\epsilon>0,k:=0ϵ>0,k:=0
这里的:=符号的意思是"定义为"的意思.
2.计算p(k)=−▽f(X(k))p^{(k)}=-\triangledown f(X^{(k)})p(k)=−▽f(X(k))
3.检验||p(k)p^{(k)}p(k)||≤ϵ\epsilonϵ?若是迭代终止,取X∗=X(k),X^{*}=X^{(k)},X∗=X(k),否则转4
4.求最有步长λk\lambda_kλk,
minλ≥0f(X(k)+λkpk)=f(X(k)+λkp(k))min_{\lambda≥0}f(X^{(k)}+\lambda_k p^{k})=f(X^{(k)}+\lambda_k p^{(k)})minλ≥0f(X(k)+λkpk)=f(X(k)+λkp(k))(一维搜索)
5.令X(k+1)=X(k)+λkp(k),令k:=k+1,转2X^{(k+1)}=X^{(k)}+\lambda_k p^{(k)},令k:=k+1,转2X(k+1)=X(k)+λkp(k),令k:=k+1,转2
注意:
2中利用了一个结论:一维搜索最优解的梯度▽f(X(k+1))与搜索方向p(k)正交①\triangledown f(X^{(k+1)})与搜索方向p^{(k)}正交①▽f(X(k+1))与搜索方向p(k)正交①
[10]中虽然有理论证明,这里我来一个几何上面的直观解释吧:
为什么是正交的呢?

下面的黑线部分是X(k)X^{(k)}X(k),
虚线部分是λkp(k)\lambda_kp^{(k)}λkp(k),
棕色线条的长度是λk,minλ≥0f(X(k)+λkp(k))\lambda_k,min_{\lambda≥0}f(X^{(k)}+\lambda_k p^{(k)})λk,minλ≥0f(X(k)+λkp(k))
橙色的点是f(X)=0f(X)=0f(X)=0的坐标.

①中的结论等效于:
夹角多大的时候,λk,minλ≥0f(X(k)+λkp(k))\lambda_k,min_{\lambda≥0}f(X^{(k)}+\lambda_k p^{(k)})λk,minλ≥0f(X(k)+λkp(k))得到最小值?
讲人话就是,角度多大,橙色点到虚线距离最短?
显然你们都知道:
点(橙色点)到直线距离是垂直的时候,距离最短,
从而①结论得证.

#--------------------------------根据上面的正交结论来证明λk\lambda_kλk的取值,证明过程来自[6]---------------------------------------------
证明以下结论:
λk=g(k)Tp(k)p(k)TQp(k)\lambda_k=\frac{g^{(k)T}p^{(k)}}{p^{(k)T}Qp^{(k)}}λk=p(k)TQp(k)g(k)Tp(k)

f(X)=12XTQX+bTX+cf(X)=\frac{1}{2}X^TQX+b^TX+cf(X)=21XTQX+bTX+c
准备工作:
令g(k)g^{(k)}g(k)=▽f(X(k))=\triangledown f(X^{(k)})=▽f(X(k))
▽f(X)=QX+b\triangledown f(X)=QX+b▽f(X)=QX+b
X(k+1)=X(k)+λkp(k)X^{(k+1)}=X^{(k)}+\lambda_kp^{(k)}X(k+1)=X(k)+λkp(k)
▽f(X(k+1))Tp(k)=0\triangledown f(X^{(k+1)})^T p^{(k)}=0▽f(X(k+1))Tp(k)=0
开始证明:
g(k)g^{(k)}g(k)
=▽f(X(k))=\triangledown f(X^{(k)})=▽f(X(k))
=QX(k)+b=QX^{(k)}+b=QX(k)+b

g(k+1)g^{(k+1)}g(k+1)
=▽f(X(k+1))=\triangledown f(X^{(k+1)})=▽f(X(k+1))
=QX(k+1)+b=QX^{(k+1)}+b=QX(k+1)+b
=Q(X(k)+λkpk)+b=Q(X^{(k)}+\lambda_kp^{k})+b=Q(X(k)+λkpk)+b
=QX(k)+b+λkQp(k)=QX^{(k)}+b+\lambda_k Q p^{(k)}=QX(k)+b+λkQp(k)
=[QX(k)+b]+λkQp(k)=[QX^{(k)}+b]+\lambda_k Q p^{(k)}=[QX(k)+b]+λkQp(k)
=g(k)+λkQp(k)=g^{(k)}+\lambda_kQp^{(k)}=g(k)+λkQp(k)

利用前面的结论:
g(k+1)Tp(k)g^{(k+1)T}p^{(k)}g(k+1)Tp(k)
=(g(k)+λkQp(k))Tp(k)=(g^{(k)}+\lambda_kQp^{(k)})^Tp^{(k)}=(g(k)+λkQp(k))Tp(k)
=g(k)Tp(k)+λkp(k)TQp(k)=g^{(k)T}p^{(k)}+\lambda_kp^{(k)T}Qp^{(k)}=g(k)Tp(k)+λkp(k)TQp(k)
=0=0=0

得到:
λk=−g(k)Tp(k)p(k)TQp(k)\lambda_k=-\frac{g^{(k)T}p^{(k)}}{p^{(k)T}Qp^{(k)}}λk=−p(k)TQp(k)g(k)Tp(k)

------------------------下面是手算steepest descent案例,来自[6]------------------------------------
用最速下降法求f(X)=x12+4x22f(X)=x_1^2+4x_2^2f(X)=x12+4x22的极小值点,
迭代两次.X(0)=(1,1)T,ϵ=10−4X^{(0)}=(1,1)^T,\epsilon =10^{-4}X(0)=(1,1)T,ϵ=10−4

当然了,因为整个式子就是两个平方项,我们可以一眼看出,最终结果X∗=(0,0)TX^{*}=(0,0)^TX∗=(0,0)T
这里只是为了展示算法流程
求解:
f(X)=12(2x12+8x22)=12XTQXf(X)=\frac{1}{2}(2x_1^2+8x_2^2)=\frac{1}{2}X^TQXf(X)=21(2x12+8x22)=21XTQX

得到Q=[2008]\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 &8 \end{matrix} \right][2008]
g(X)=▽f(X)=[2x18x2]g(X)=\triangledown f(X)=\left[ \begin{matrix} 2x_1 \\ 8x_2 \end{matrix} \right]g(X)=▽f(X)=[2x18x2]
第一次迭代
1.k=0
2.p(0)=−g(0)=−[28]p^{(0)}=-g^{(0)}=-\left[ \begin{matrix} 2 \\8 \end{matrix} \right]p(0)=−g(0)=−[28]

这里稍微说一下,这里为什盯着p(0)p^{(0)}p(0)的长度作为迭代终止条件呢?
这个要根据算法第4步骤来理解,
因为如果收敛,也就是到等高线额谷底的话,λkp(k)\lambda_kp^{(k)}λkp(k)的数值肯定是很小的.
判断λkp(k)\lambda_kp^{(k)}λkp(k)与判断p(k)p^{(k)}p(k)的迭代终止效果应该是一致的.
∣∣p(0)∣∣=(−2)2+(−8)2=68||p^{(0)}||=\sqrt{(-2)^2+(-8)^2}=\sqrt{68}∣∣p(0)∣∣=(−2)2+(−8)2=68

4.λ0=−g(0)Tp(0)p(0)TQp(0)=(2,8)[28](2,8)[2,00,8][28]=68520=0.13077\lambda_0=-\frac{g^{(0)T}p^{(0)}}{p^{(0)T}Qp^{(0)}}=\frac{(2,8) \left[ \begin{matrix}2 \\ 8\end{matrix} \right]}{(2,8)\left[ \begin{matrix}2,0 \\0,8\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 \\8 \end{matrix} \right]}= \frac{68}{520}=0.13077λ0=−p(0)TQp(0)g(0)Tp(0)=(2,8)[2,00,8][28](2,8)[28]=52068=0.13077
5.X(1)=X(0)+λ0p(0)=[11]−0.13077[28]=[0.73846−0.04616]X^{(1)}=X^{(0)}+\lambda_0p^{(0)}=\left[ \begin{matrix} 1 \\1 \end{matrix} \right]-0.13077\left[ \begin{matrix} 2 \\8 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0.73846 \\-0.04616 \end{matrix} \right]X(1)=X(0)+λ0p(0)=[11]−0.13077[28]=[0.73846−0.04616]

第二次迭代
1.k=1
2.p(1)=−g(1)=−[1.47692−0.39623]p^{(1)}=-g^{(1)}=-\left[ \begin{matrix} 1.47692 \\-0.39623 \end{matrix} \right]p(1)=−g(1)=−[1.47692−0.39623]
3.||p(1)p^{(1)}p(1)||=1.52237
4.λ1=−g(1)Tp(1)p(1)TQp(1)=0.425\lambda_1=-\frac{g^{(1)}Tp^{(1)}}{p^{(1)T}Qp^{(1)}}=0.425λ1=−p(1)TQp(1)g(1)Tp(1)=0.425
5.X(2)=X(1)+λ1p(1)=[0.73846−0.04616]−0.425[1.47692−0.39623]=[0.110760.11076]X^{(2)}=X^{(1)}+\lambda_1p^{(1)}=\left[ \begin{matrix} 0.73846 \\-0.04616 \end{matrix} \right]-0.425\left[ \begin{matrix} 1.47692 \\-0.39623 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0.11076\\0.11076 \end{matrix} \right]X(2)=X(1)+λ1p(1)=[0.73846−0.04616]−0.425[1.47692−0.39623]=[0.110760.11076]
k=2

然后再继续往下面迭代(略)
-----------------------------------------------------------------
steep descent具体代码实现是[5][8],但是注意,因为上面的手算没有使用Armijo-Goldstein法则和Wolfe-power法则,
但是[5][8]使用了Armijo-Goldstein法则,所以代码的运行过程和手算过程是对应不上的.
但是代码的运行结果是可以和手算结果对应上的
-----------------------------------------------------------------
Reference:
[1]Methode g ´ en´ erale pour la r ´ esolution des syst ´ emes `d’equations simultan ´ ees
[2]再谈梯度下降法/最速下降法/Gradient descent/Steepest Descent
[3]文献已经没啥用了-已经删除.
[4]Cauchy’s method of minimization
[5]用Python实现最速下降法求极值
[6]最速下降法-百度文库
[7]【最优化】一文搞懂最速下降法
[8]最速下降法（梯度下降法）python实现
[9]Step-size Estimation for Unconstrained Optimization Methods
[10]梯度下降法和最速下降法的细微差别

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