2D凸多边形碰撞检测算法（二） - GJK（上）

原理

在 Narrow Phase 精细碰撞检测中，除了 SAT ，另外一个就是 GJK（Gilbert–Johnson–Keerthi）算法。它足够高效，且很容易了解它是如何进行碰撞检测的。同样的，它也只适用于 凸多边形 间的碰撞检测。

首先，重新回顾一下：当两个物体碰撞，发生部分重叠的时候，我们是怎样让计算机知道他们发生了碰撞呢？在上一篇中，SAT 告诉我们：

如果存在一条直线，能够将两个物体分隔开，则两个物体没有发生碰撞。
反之，如果两个物体发生碰撞，则找不到这一条直线，将两个物体分隔开。

SAT 让我们从 分离 的角度，去思考物体间的碰撞。

而 GJK ，则是从 重叠 的角度来探索物体之间的碰撞。

为了方便理解，我们先创建两个相互重叠的多边形，并标记两个多边形重叠的部分：

目光聚焦到红色的重叠部分，并想一想，它的几何意义究竟是什么？

我们在中学就已经学过，两个直线相交，会产生一个点。这个点都在这两条直线上，这意味着，反应在坐标系上，两条直线享有一个 共同的坐标 。而对于平面，就是无数条直线构成。两个图形产生了重叠，意味着他们有着一组共同的点， 共享一组坐标 。

而产生碰撞的条件是，两个图形必须 至少重合一个点 ，否则将不会产生碰撞。翻译成计算机能听懂的话：

“是否能从两个图形中，各自找到一个点，使得它们相减后为原点？”

这就是 GJK 算法的核心目的。当两个图形发生重叠时，他们 必然会有一个坐标，相减后为原点。

计算机想要“看见”两个图形重叠的部分，可以利用自身的计算优势，把左边整个图形所包含的坐标 减去 右边图形所包含的坐标，并得到一系列的点。将所有计算后的点包围起来，如果这个新生成的图形 包含原点，则意味着两个图形发生了重叠，从而判断两个图形发生了碰撞。我们把计算后的点称为 闵可夫斯基差 ( Minkowski Difference )，将生成的三角形/线形称为 单纯形 ( Simplex )。

为了直观地理解，我将两个图形所有坐标相减后的结果称为 Minkowski Difference。实际上，似乎只存在 Minkowski Sum （闵可夫斯基和）这个说法。其实也可以理解为，将第二个图形的所有坐标点取反后，加到第一个图形的所有坐标点。

将两个图形所有的坐标相减，显然不是我们能够手算的。但是，我们可以根据多边形的特点，只需将他们的顶点相减，就可以达成我们的目的。但是这样，排列组合后，需计算 20 个点，这显然也不是我们想要的，并且可能会出现多余的计算结果。所以，我们需要尽量得到足够大的单纯形，这样才会提升包含原点的几率。

在GJK 算法中，我们定义一个名为 support 的函数。在这个例子中，它的作用是这样的：

1. 假设初始方向为
   ，那么将

   黄色 多边形的所有顶点投影到这个方向上，求出最大点。

2. 再将初始方向取反，
   。然后将

   蓝色 多边形的所有顶点投影到这个方向上，求出最大点。

3. 获得的两个点相减，即可得到两个图形的单纯形上的一点。

为了便于理解，我们创建两个多边形，并且规定

为蓝色图形的位置坐标，

为黄色图形的位置坐标，从

指向

为 support 函数的起始方向。我们的目标是至少能够算出三个点，构成一个包含三个顶点的单纯形。

第一次

依次按照上述步骤，我们得到这样的一个结果：

得到黄色图形在

方向上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

；得到蓝色图形在 方向

上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

。

将两个坐标相减，得到单纯形上的一个顶点 ：

。

第二次

然后，我们将初始方向取反，作为新的初始方向，再进行如上的步骤：

得到黄色图形在

方向上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

；得到蓝色图形在

方向上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

。

将两个坐标相减，得到单纯形上的一个新的顶点 ：

。

第三次

之后，我们取与起始向量垂直的向量作为新的方向向量，值得注意的是，这样的方向向量有两个，一个是 指向原点的

，一个是

背离原点的

。

我们不妨以先背离原点的

作为新的方向，重复 support 函数。

得到黄色图形在

方向上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

；得到蓝色图形在 方向

上的最大投影点为来自于点

，记录坐标

。

将两个坐标相减，得到单纯形上的一个新的顶点 ：

。

构造单纯形

我们得到了三个点：

，画出单纯形：

我们似乎没能构成一个包含原点的单纯形。

如果我们换成

，计算后，我们将会得到一个新的点

。画出这个新的单纯形：

这一次，我们 幸运地 包含了原点！

从以上几个步骤，不难看出， GJK 是一种 迭代算法，它需要不断地检测单纯形是否包含原点。它退出迭代的条件是：

1. 单纯形包含原点
2. 单纯形最后添加的顶点与搜寻方向点乘小于0

到目前为止，我们离真正实现 GJK 碰撞检测还有一段距离，以及碰撞之后，如何通过EPA算法，获得它的穿透向量。这些内容，将在稍后的篇章中详细介绍。