分治算法，顾名思义就是“分而治之”，即把规模较大的复杂问题拆分为若干规模较小的类似子问题，并逐个解决，最后再将各个子问题的解决结果合并，得到原始问题的结果的方法。这个技巧是很多高效算法的基础，例如快速排序算法、归并排序算法、快速傅里叶变换等等。

五大常用算法之分治算法

分治算法的通俗理解

一般来说，规模小的问题比规模大的问题解决起来简单，例如数组排序问题，只有 2 个元素的数组处理起来要比有 2000 个元素的数组简单。这是分治算法的基本立足点，也是使用条件之一，总结一下就是，对于一个规模较大的问题，可以拆分成若干不相关的子问题，并且子问题解决起来更加简单。

分治算法在我们日常生活中无处不在，例如国家依次划分为省市县镇村来管理，本质上也是因为解决“子问题”(管理村)要简单许多。

有这样一个非常经典的问题：生产线生产了 99 个工件，其中 1 个工件是劣品，比其他 98 个工件质量轻一些，如果用天平称，至少多少次一定能找到这个劣品工件？

要解决这个问题，最简单粗暴的方法是逐个比较，如果第 x 个工件比第 y 个工件轻，第 x 个工件就是劣品。那么 99 个工件至少需要比较 50 次才能确保一定找到劣品。

逐个比较

能够发现，使用逐个比较的方法的时间开销与工件总数有关，如果工件总数很少，比如只有 2 个，那么只需要比较一次就可以找到劣品了。因此该问题满足使用“分治算法”的必要条件之一：规模较小的子问题解决起来更简单。现在尝试使用分治算法解决该问题：

1. 将 99 个工件等分为 3 份，每份 33 个工件；
2. 比较第 1、2 份，如果天平平衡，那么劣品必定在第 3 份中，否则劣品在轻的那一份中；
3. 将劣品所在的那一份再等分为 3 份，每份 11 个工件；
4. 重复第 2 步；
5. 将劣品所在那一份再分为 3 份，每份分别为 3、3、2 个工件；
6. 重复第 2 步；
7. 不管劣品所在那一份为 3 个工件还是 2 个工件，只需再比较一次，就可找到劣品。

可见，使用分治算法只需要比较 4 次就可以找到劣品，这远低于逐个比较法的 50 次。不过也应该注意到，使用分治法找劣品时，每次拆分子问题时，各个子问题是互不干扰的——例如其中一份的 33 个工件质量不会影响其他份的 33 个工件质量。

归并排序法

从前面这个简单的实例可以看出，分治法有时的确能够极大的提升解决问题的效率，事实上，在C语言程序开发中，许多优秀的算法本质上都是基于分治思想的，一个非常典型的例子就是归并排序法，它在处理数组排序时有着不错的效率。

在处理数组排序时，如果数组中只有 1 个元素，那么该数组本身就可看作是排好序的数组。如果数组中有 2 个元素，那么最多只需比较一次就可以得到排好序的数组。这其实是归并排序法的核心，也即规模越小的数组，对其排序越简单。下图是一个长度为 5 的数组，为了排序，先把它拆分到不能继续拆为止。

拆分到不能继续拆

显然，“拆分到不能继续拆”后，子问题已经变成了只有 1 个元素的数组，这样的数组已经是“排好序”的数组了。按照我们前面讨论的，现在需要做的就是把这些已经排好序的子数组合并，问题转化为：按照顺序合并有序数组，如下图所示：

按照顺序合并有序数组

归并排序的C语言实现

根据前面的分析，使用C语言实现归并排序法需要实现两个子模块：拆分和合并。拆分数组有多种方法，通常采用二等分法，设数组头的索引为 start，数组尾的索引为 end，mid=(start+end)/2，每次平均拆分，都会将数组分为 start 到 mid，和 mid+1 到 end 两个子数组，再对这两个子数组执行同样的拆分，一直到不能拆分为止。所谓“不能拆分”，其实就是数组中只有一个元素，也即 start 等于 end，这一过程非常适合使用递归实现。我们先确定递归的停止条件：

void divide(int *arr, int start, int end){    if (start >= end)        return;}

否则，我们将继续拆分子数组(start, mid)和(mid+1, end)，这一过程的C语言代码如下：

void divide(int *arr, int start, int end){    if (start >= end)    return;    int mid = (start+end)/2;    divide(arr, start, mid);    divide(arr, mid+1, end);}

关于 divide() 递归函数的理解，我之前的这篇文章详细讨论过。

搞定拆分模块后，再来看看合并模块。按照前面讨论的，拆分到“不能拆为止”的都可认为是已经排好序的子数组，所以合并模块要按照顺序(本例从小到大)将子数组合并：

int merge(int *arr, int start, int mid, int end){    int ln = mid-start +1;    int rn = end - mid;    int left[ln], right[rn];        for (int i=0; i

C语言代码1

我们先将要合并的拆分后的两个子数组分别保存在 left 和 right 数组里，应注意，这里使用了C语言的变长数组语法，因此在编译时要指定-std=c99选项。接着，我们逐个比较 left 和 right 中的元素，按照顺序填入 arr，这一过程的C语言代码如下所示：

int merge(int *arr, int start, int mid, int end){...    int i=0, j=0, k=0;    for (k = start; i < ln && j < rn; ++k) {        if (left[i] < right[j]) {            arr[k] = left[i];            ++i;        } else {            arr[k] = right[j];            ++j;        }    }

C语言代码2

执行完毕后，left 和 right 中可能还有剩余元素，这些剩余元素必定是需要放在 arr 后部分的，因此C语言代码可以如下写：

int merge(int *arr, int start, int mid, int end){...    if (i < ln)        for (; i < ln; i++) {            arr[k] = left[i];            ++k;        }    if (j < rn)        for (; j < rn; ++j) {            arr[k] = right[j];            ++k;        }}

C语言代码3

到这里，merge() 函数就完成了，将之与 divide() 函数组合起来，也即：

void divide(int *arr, int start, int end){    if (start >= end)    return;    int mid = (start+end)/2;    divide(arr, start, mid);    divide(arr, mid+1, end);    merge(arr, start, mid, end);}

C语言代码4

现在 divide() 函数便可对输入的数组 arr 排序了。

测试归并排序法

这里使用 8 个元素的数组做测试：

int main(){    int arr[8] = {1, 3, 2, 5, 8, 7, 6, 4};    divide(arr, 0, 7);    for (int i=0; i<8; i++)        printf("%d ", arr[i]);    printf("");    return 0;}

C语言代码5

编译并执行这段C语言代码，得到如下输出：

# gcc t.c -std=c99# ./a.out 1 2 3 4 5 6 7 8

归并排序算法的时间复杂度

在计算过程中，累加和比较的过程是关键操作，一个长度为 n 的数组在递归的每一层都会进行 n 次操作，分治法的递归层级在 logN 级别，所以整体的时间复杂度是 O(nlogn)。

归并排序法是一个效率不错的排序算法，可能时间复杂度看起来不是特别直观，我们将之与简单粗暴的“冒泡排序算法”对比，在我的机器上分别对不同规模的数组排序，得到如下结果：

排序效率对比

冒泡排序算法是比较简单的算法，在处理规模较小的数组时和归并排序法的效率不相上下，但是在处理规模较大的数组时，冒泡排序算法的效率逐渐远离归并排序了，且数组的规模越大，二者的效率差异越大，在处理 100 万个数组元素时，归并排序算法仅消耗 230 毫秒就处理完毕了，而冒泡排序算法在执行 2 分钟后仍然还没有完成，我没有耐心等下去，提前结束它了。