前言

时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。
1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列
4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。

一、确定性时间序列分析

（1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
（2）季节变动。
（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
（4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。通常用TtT_tTt表示长期趋势项，StS_tSt表示季节变动趋势项，CtC_tCt表示循环变动趋势项，RtR_tRt表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：
（1）加法模型
yt=Tt+St+Ct+Rty_t=T_t+S_t+C_t+R_t yt=Tt+St+Ct+Rt

（2）乘法模型
yt=Tt∗St∗Ct∗Rty_t=T_t*S_t*C_t*R_t yt=Tt∗St∗Ct∗Rt

（3）混合模型
yt=Tt∗St+Rty_t=T_t*S_t+R_t yt=Tt∗St+Rt

yt=St+Tt∗Ct∗Rty_t=S_t+T_t*C_t*R_t yt=St+Tt∗Ct∗Rt

其中yty_tyt是观测目标的观测记录，E ( RtR_tRt) = 0 ，E ( Rt2R^2_tRt2) = σ2σ^2σ2。
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差σ2σ^2σ2较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。

二、移动平均法

移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

2.1 简单移动平均法

设观测序列为 y1y_1y1 ,… , yTy_TyT，取移动平均的项数N < T 。一次简单移动平均值计算公
式为：
Mt(1)=1N(yt+yt−1+...+yt−N+1)=Mt−1(1)+1N(yt−yt−N)M_{t}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{N}\left( y_t+y_{t-1}+...+y_{t-N+1} \right) =M_{t-1}^{\left( 1 \right)}+\frac{1}{N}\left( y_t-y_{t-N} \right) Mt(1)=N1(yt+yt−1+...+yt−N+1)=Mt−1(1)+N1(yt−yt−N)
当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建立预测模型：
y^t+1=Mt(1)=1N(y^t+...+y^t−N+1),t=N,N+1,...\hat{y}_{t+1}=M_{t}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{N}\left( \hat{y}_t+...+\hat{y}_{t-N+1} \right) ,t=N,N+1,... y^t+1=Mt(1)=N1(y^t+...+y^t−N+1),t=N,N+1,...
其预测标准误差为：
S=∑t=N+1T(y^t−yt)2T−NS=\sqrt{\frac{\sum_{t=N+1}^T{\left( \hat{y}_t-y_t \right) ^2}}{T-N}} S=T−N∑t=N+1T(y^t−yt)2

最近 N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般N 取值范围：5 ≤ N ≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。否则N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动
平均的项数应取周期长度。选择最佳N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误
差。预测标准误差最小者为好。

MATLAB代码如下（示例）：

clc,clear
y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1
1102.7];
m=length(y);
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)
%由于n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
for j=1:m-n(i)+1
yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);
end
y12(i)=yhat{i}(end);
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后

2.2 加权移动平均法

在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。

设时间序列为 y1y_1y1 ,… , yty_tyt；加权移动平均公式为
Mtw=w1yt+w2y2+...+wNyt−N+1w1+w2+...+wN,t≥NM_{tw}=\frac{w_1y_t+w_2y_2+...+w_Ny_{t-N+1}}{w_1+w_2+...+w_N},t\ge N Mtw=w1+w2+...+wNw1yt+w2y2+...+wNyt−N+1,t≥N
式中 MtwM_{tw}Mtw 为t 期加权移动平均数；wiw_{i}wi 为yt−i+1y_{t-i+1}yt−i+1 的权数，它体现了相应的yty_{t}yt 在加权平均数中的重要性。
利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为
y^t+1=Mtw\hat{y}_{t+1}=M_{tw} y^t+1=Mtw
即以第t期加权移动平均数作为第t +1期的预测值。

代码如下（示例）：

y=[6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28
9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1
yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中，wtw_{t}wt 的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定。

2.3 趋势移动平均法

简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。

一次移动的平均数为:
Mt(1)=1N(y^t+...+y^t−N+1)M_{t}^{\left( 1 \right)}=\frac{1}{N}\left( \hat{y}_t+...+\hat{y}_{t-N+1} \right) Mt(1)=N1(y^t+...+y^t−N+1)
在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为:
Mt(2)=1N(Mt(1)+...+Mt−N+1(1))=Mt−1(2)+1N(Mt(1)−Mt−N(1))M_{t}^{\left( 2 \right)}=\frac{1}{N}\left( M_t^{\left( 1 \right)}+...+M_{t-N+1}^{\left( 1 \right)} \right)=M_{_{t-1}}^{^{\left( 2 \right)}}+\frac{1}{N}\left( M_{t}^{\left( 1 \right)}-M_{t-N}^{\left( 1 \right)} \right) Mt(2)=N1(Mt(1)+...+Mt−N+1(1))=Mt−1(2)+N1(Mt(1)−Mt−N(1))
下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。
设时间序列yty_{t}yt 从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变
化，则可设此直线趋势预测模型为
y^t+T=at+btT,T=1,2...\hat{y}_{t+T}=a_t+b_tT,T=1,2... y^t+T=at+btT,T=1,2...
其中 t 为当前时期数；T 为由t 至预测期的时期数； ata_tat为截距； btb_tbt 为斜率。两者又称为平滑系数。
现在，我们根据移动平均值来确定平滑系数
at=yta_t=y_tat=yt
yt−1=yt−bty_{t-1}=y_t-b_tyt−1=yt−bt
yt−2=yt−2bty_{t-2}=y_t-2b_tyt−2=yt−2bt
.........
yt−N+1=yt−(N−1)bty_{t-N+1}=y_t-\left( N-1 \right) b_tyt−N+1=yt−(N−1)bt

所以：
Mt(1)=yt+yt−1+...+yt−N+1N=yt−N−12btM_{t}^{\left( 1 \right)}=\frac{y_t+y_{t-1}+...+y_{t-N+1}}{N}=y_t-\frac{N-1}{2}b_t Mt(1)=Nyt+yt−1+...+yt−N+1=yt−2N−1bt

因此：
yt−Mt(1)=N−12bty_t-M_{t}^{\left( 1 \right)}=\frac{N-1}{2}b_t yt−Mt(1)=2N−1bt
同理：
yt−1−Mt−1(1)=N−12bty_{t-1}-M_{t-1}^{\left( 1 \right)}=\frac{N-1}{2}b_t yt−1−Mt−1(1)=2N−1bt
所以：
yt−yt−1=Mt(1)−Mt−1(1)=bty_t-y_{t-1}=M_{t}^{\left( 1 \right)}-M_{t-1}^{\left( 1 \right)}=b_tyt−yt−1=Mt(1)−Mt−1(1)=bt

Mt(1)−Mt(2)=N−12btM_{t}^{\left( 1 \right)}-M_{t}^{\left( 2 \right)}=\frac{N-1}{2}b_tMt(1)−Mt(2)=2N−1bt

于是可得平滑系数的计算公式为:
at=2Mt(1)−Mt(2)a_t=2M_{t}^{\left( 1 \right)}-M_{t}^{\left( 2 \right)}at=2Mt(1)−Mt(2)
bt=2N−1(Mt(1)−Mt(2))b_t=\frac{2}{N-1}\left( M_{t}^{\left( 1 \right)}-M_{t}^{\left( 2 \right)} \right) bt=N−12(Mt(1)−Mt(2))

代码如下（示例）：

clc,clear
load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件y.txt 中
m1=length(y);
n=6; %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1
yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1
yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
yhat2
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21

趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

总结

提示：这里对文章进行总结：
1.简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后

2.在加权移动平均法中，wtw_{t}wt的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定。

3.趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

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