典型二阶非线性Duffing方程的MATLAB仿真

摘要：作为一类具有广泛物理意义的动力系统，Duffing方程及其混沌现象长期以来为人们关注。本文在详细阐释Duffing方程物理意义的基础上讨论了这一类方程的数值计算方法并采用MATLAB软件包完成了Duffing方程的求解以及相图的绘制。文章相图和一些信号波形的分析说明了一些混沌振荡的特征。

关键词：Duffing方程； Runge-Kutta法

Abstract: As one important kind of dynamical system with profound physical background, Duffing equation has been a hot topic for a long period. This article illustrates its physical significance before introducing some Runge-Kutta methods to solve the equation. With one method adopted and the use of MATLAB, the paper realizes the visualization of phase portrait and some signal waveforms of the equation with two different kinds of coefficients. Finally, basic characteristics of chaos are analyzed based on phase portrait and signal waveforms in both time and frequency dormain.

Key words: Duffing equation; Runge-Kutta methods1. 引言

广义二阶Duffing方程形式为x″ + g ( x) = e ( t).其中e(t)代表激励函数。本文讨论的是一类具有广泛应用的Duffing方程，其形式为

(1)

方程(1)具有典型的物理意义，它代表了一个二阶动力系统，其中包含一个阻尼部件(反映)，一个正弦激励源和一个非线性储能部件(用反映)。值得注意的是，对于不是用多项式表示的非线性储能部件的函数关系g(x)，可以根据Taylor定理在局部展开为Taylor级数形式，然后应用方程(1)描述。

下面举例说明方程(1)的物理意义。对于一个如图1所示的由滑块m，计入摩擦的墙壁以及经过淬火处理的弹簧的典型力学系统[1]，若F= ,Fsp= ，其中y代表滑块距离墙的位移，Ff= ，表示阻尼力和滑块速度成正比。

图1、由滑块和弹簧构成的力学系统

本系统包括一个非线性储能弹簧，一个与速度成正比的摩擦力和一个周期外力激励。根据牛顿定律列出方程，入各项表达式得

(2)

这是一个典型的Duffing方程。

Duffing方程亦可用于描述电路系统，这将在下一节进行分析。

2. Duffing方程描述的电路系统分析

需要描述的并联LC二阶铁磁混沌振荡电路如图2所示[2]，其中，电容C和电阻R为线性元件，L为非线性电感，其韦安特性表示为 .

图2、由非线性电感和线性电容电阻构成的二阶电路系统

对于图2，根据KVL与KCL列写电路方程如下：

化简并入表达式可得：

通过增加一个变量可以将这个非自治其化为三阶自治方程[3] ，如下：

经过变量替换以后可以得到简化后的方程，见公式(3). 可见本电路的方程就是典型二阶非线性Duffing方程。其中.变量具有对应关系，即.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

本电路中的非线性电感作为非线性储能部件，R作为阻尼，激励是电压源。因此从物理含义上来说本电路具有Duffing方程描述的动力系统的一切特点，故根据KCL和KVL列出的方程和Duffing方程等价应在意料之中。

3. 常微分方程数值解法

非线性微分方程组因其解析解难以找到故需要数值方法求解，从而得到在一系列自变量值处的函数值，即寻找真解y(x)在上的近似值.

4级4阶标准Runge-Kutta法[4]是较为常用的数值解法之一，它的优点是：具有4阶精度，显式方法，无需迭代。这些优点使得Runge-Kutta法不仅可以单独使用，也可以和与其同阶的隐式法配合构成更加精确的预测-校正方法或者作为同阶多步法求解初始值的工具。例如，在由Adams显式法和Aams隐式法组合构成的预测-修正-校正-修正计算体