1. 基本指数信号

设

与

为两个基本指数信号，其中

和

分别为连续时间域和离散时间域的角频率。

1.1 连续时间域

1. 连续时间域中，如果满足
   ，则
   是周期信号，其周期为
   ，；
2. 角频率
   越大，信号的振荡频率越快；
3. 当
   时，
   与
   是正交的，且角频率不区分正负。

第1点与第2点很明显；如果能证明现

与

的内积为0，便可证明第3点。 设

为两信号周期的最小公倍数，

，

，则

。两信号的内积为

。

1.2 离散时间域

1. 离散时间域中，如果满足
   ，
   和
   为整数，则当且仅当
   ，即
   是有理数时，
   为周期信号。
2. 如果以
   为自变量，
   是周期信号，即
   ，
   。
3. 随着
   变化，根据第2点性质
   ，信号不是完全不同的（此处不同于连续时间域），即每隔
   会出现相同的信号。

2. 傅里叶变换的实质

为了更方便的展示傅里叶变换如何在信号空间表示，首先以三维信号如何在三维欧几里得空间表示为例，如图1所示。

在三维欧几里得空间中，共有3个两两正交的线，即有3个基，下边介绍在此空间中表示三维信号

的过程。首先，将

分别与三个基进行内积操作，即

，得到在三个基上的分量；其次，将三个分量在三个基上进行线性叠加，即

，便得到了向量

在此三维欧几里得空间中的表示。

那么信号

如何在信号空间中表示呢？设信号

是连续非周期信号，其信号空间中的基频是

。在信号空间中，当

时，

与

是正交的，所以在信号空间中有无穷多的基。与欧几里得空间中的操作相同，首先，将信号

与信号空间中的基进行内积操作，即

；其次，将信号

在各个基上的分量

与对应的基进行线性叠加（线性加权和），即

，便得到了此信号在信号空间中的表示。上述投影过程，称为Fourier变换，线性加权和称为Fourier逆变换。

3. Dirichlet 条件

一个连续时间域内的非周期信号

如果有傅里叶变换，必须满足Dirichlet条件，即

1. 信号
   是绝对可积的，即
   ；
2. 在任意一个有限的区间内必须有有限个极大值和极小值；
3. 在任意一个有限的区间内必须有有限个不连续点。

第1点意味着信号的能量必须是有限的；第2点和第3点表示信号要足够光滑。

4. 连续周期信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶级数）

设信号

是

周期信号，满足

，其中

为基本（最小）周期，则其基信号为

，且

。其Fourier变换为

；逆变换为

。称为信号

为傅里叶级数展开，

为傅里叶级数的系数。

周期信号如果有傅里叶变换，需要满足的Dirichlet条件为

1. 信号
   在任意周期内是绝对可积的，即
   ；
2. 在任意周期内必须有有限个极大值和极小值；
3. 在任意周期内必须有有限个不连续点。

5. 离散周期信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶级数）

设

为离散周期信号，且满足

，即

，这相当于把一个圆分成了N份（可参考虚部表示旋转），所以其基频信号为

。

信号

的Fourier变换可表示为

，傅立叶逆变换为

。

注意，离散周期信号中不同的频率信号为有限个，连续周期信号不同的频率信号为无限个。

6. 离散非周期信号的傅里叶变换

设

为离散非周期信号，其基信号为

，则Fourier变换为

，因

，

的傅里叶逆变换为

。

7. 小结

7.1 连续信号

周期信号，基信号

；非周期信号，基信号

。

7.2 离散信号

周期信号，基信号

；非周期信号，基信号

。

7.3 例子

设信号

。因计算机只能处理离散数据，所以，这个例子以1024Hz的采样频率对1s中的数据进行采样，获得离散序列

。在python中为

# 设信号周期为1s，采样频率为1024

并对其逆行Fourier变换

# Fourier变换

结果分别如图2和图3所示。完整代码在我的Github中（基于python），建议动手操作一下。