线性代数考研笔记（二）

矩阵：

线性代数考研笔记（二）：矩阵
- 矩阵相关概念：
- 矩阵初等变换：
- 逆矩阵相关性质：
- 分块矩阵的运算法则：
- 方阵的特征根和特征向量：
- 正交矩阵：
- 正交向量组：
- 相似矩阵：
- 对角化：
- 合同矩阵：
- 二次型：
- 正定矩阵：
- 实对称矩阵：
- 矩阵的秩的相关定理：

线性代数考研笔记（二）：矩阵

矩阵相关概念：
- 方阵：行数和列数相等的矩阵；
- 对角矩阵：除了主对角线上元素外，其他元素均为0的矩阵，记作diag(a1,a2,...,an)diag(a_1,a_2,...,a_n)diag(a1,a2,...,an)；
- 单位矩阵：主对角线元素全为1的对角矩阵，记为$；
- 逆矩阵：对于矩阵AAA，若存在矩阵BBB使得AB=EAB = EAB=E，则称BBB为AAA的逆矩阵，记作A−1A^{-1}A−1；
- 置换矩阵：方形二进制矩阵，它在每行和每列中只有一个1，而在其他地方则为0，有性质：P2=EP^2=EP2=E；
矩阵初等变换：
- 数乘变换 ⇒\Rightarrow⇒ E(i(k))E(i(k))E(i(k))；
- 消法变换 ⇒\Rightarrow⇒ E(i,j(k))E(i,j(k))E(i,j(k))；
- 交换变换 ⇒\Rightarrow⇒ E(i,j)E(i,j)E(i,j)；
- 矩阵乘法的意义：若A×B=CA\times B = CA×B=C，意味着：
  - cij=∑k=1naikbkjc_{ij} = \sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}cij=k=1∑naikbkj；
  - 给BBB左乘矩阵AAA，相当于依次用AAA的第iii个行向量的各个分量作为BBB中每个行向量的权重，加权求和（行变换）得到的CCC的第iii个行向量；特殊地，若AAA只有一个行向量，则CCC就是BBB的各行加权求和生成的一个行向量；
  - 给AAA右乘矩阵BBB，相当于依次用BBB的第iii个列向量的各个分量作为AAA中每个列向量的权重，加权求和（列变换）得到的CCC的第iii个列向量；特殊地，若BBB只有一个列向量，则CCC就是AAA的各列加权求和生成的一个列向量；
逆矩阵相关性质：
- 主对角矩阵的逆矩阵：diag(a1,a2,...,an)−1=diag(1a1,1a2,....1an)diag(a_1,a_2,...,a_n)^{-1} = diag(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},....\frac{1}{a_ n})diag(a1,a2,...,an)−1=diag(a11,a21,....an1)；
- 副对角矩阵的逆矩阵：diag′(a1,a2,...,an)−1=diag′(1an,1an−1,....1a1)diag'(a_1,a_2,...,a_n)^{-1} = diag'(\frac{1}{a_n},\frac{1}{a_{n-1}},....\frac{1}{a_ 1})diag′(a1,a2,...,an)−1=diag′(an1,an−11,....a11)；
- 2x2矩阵的逆矩阵：[ABCD]−1=1AD−BC[D−B−CA]\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \\ \end{matrix}\right]^{-1} = \cfrac{1}{AD-BC} \left[\begin{matrix} D & -B \\ -C & A \\ \end{matrix}\right][ACBD]−1=AD−BC1[D−C−BA]；
- 分块矩阵的逆矩阵：
  - 若分块矩阵：A=[AOOB]A = \left[\begin{matrix}A & O\\O & B \end{matrix} \right]A=[AOOB]，则A−1=[A−1OOB−1]A^{-1} = \left[\begin{matrix}A^{-1} & O\\O & B^{-1} \end{matrix} \right]A−1=[A−1OOB−1]；
  - 若分块矩阵：A=[OABO]A = \left[\begin{matrix}O & A\\B & O \end{matrix} \right]A=[OBAO]，则A−1=[OB−1A−1O]A^{-1} = \left[\begin{matrix}O &B^{-1}\\A^{-1}&O \end{matrix} \right]A−1=[OA−1B−1O]；
- 逆矩阵的行列式： ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \cfrac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1；
- 逆矩阵的运算法则：
  - (AB)−1=B−1×A−1(AB)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}(AB)−1=B−1×A−1；
  - (A+B)−1=B−1×(A−1+B−1)×A−1(A+B)^{-1}=B^{-1}\times(A^{-1}+B^{-1})\times A^{-1}(A+B)−1=B−1×(A−1+B−1)×A−1；
- 逆矩阵的求解方法：
  - 伴随矩阵法： A∗A=∣A∣E⇒A−1=A∗∣A∣A^*A = |A|E \Rightarrow A^{-1} = \cfrac{A^*}{|A|}A∗A=∣A∣E⇒A−1=∣A∣A∗；
  - 高斯-乔丹消元法：(A∣E)⇒(E∣A−1)(A | E) \Rightarrow (E | A^{-1})(A∣E)⇒(E∣A−1)
分块矩阵的运算法则：
- 若Am×n,Bm×nA_{m\times n}, B_{m\times n}Am×n,Bm×n采用相同的分块法，可以直接将子块当作元素进行加减运算；
- 若Am×l,Bl×nA_{m\times l}, B_{l\times n}Am×l,Bl×n各对应位置的子块符合矩阵乘法的行列条件，则可以直接将子块当作元素进行乘法运算；
- 若矩阵：A=[A11A12...A1nA21A22...A2nAm1Am2...Amn]A =\left[\begin{matrix} A_{11}&A_{12}&...&A_{1n} \\ A_{21}&A_{22}&...&A_{2n} \\ A_{m1}&A_{m2}&...&A_{mn} \\ \end{matrix}\right]A=⎣⎡A11A21Am1A12A22Am2.........A1nA2nAmn⎦⎤，则 AT=[A11TA21T...Am1TA12TA22T...Am2TA1nTA2nT...AmnT]A^T =\left[\begin{matrix} A_{11}^T&A_{21}^T&...&A_{m1}^T \\ A_{12}^T&A_{22}^T&...&A_{m2}^T \\ A_{1n}^T&A_{2n}^T&...&A_{mn}^T \\ \end{matrix}\right]AT=⎣⎡A11TA12TA1nTA21TA22TA2nT.........Am1TAm2TAmnT⎦⎤；
- 若分块对角矩阵：A=[AOOB]A = \left[\begin{matrix}A & O\\O & B \end{matrix} \right]A=[AOOB]，则An=[AnOOBn]A^{n} = \left[\begin{matrix}A^{n} & O\\O & B^{n} \end{matrix} \right]An=[AnOOBn]；
方阵的特征根和特征向量：
- 定义：使得方阵A 满足 ∣A−λE∣=0|A-λE|=0∣A−λE∣=0的λ的值，叫做A的特征根，由每个λ确定的矩阵方程：(A−λE)X=O(A-λE)X = O(A−λE)X=O 的非零解向量，叫做A的特征向量，对应的方程称为特征方程；
- 性质：
  - n阶方阵在复数范围内有n个特征根（注意：重根按照重数计算）；
  - Σλi=Σaii\Sigma \lambda_i = \Sigma a_{ii}Σλi=Σaii，(等式右边称为矩阵A的迹)；
  - ∏λi=∣A∣\prod \lambda_i = |A|∏λi=∣A∣；
  - 若λ是A的特征根，则f(λ) 是f(A)的特征根（A−1A^{-1}A−1有特征值λ−1λ^{-1}λ−1），且AAA与f(A)f(A)f(A)的特征向量相同；
  - 若λ是A的特征根，则A∗A^*A∗有特征根∣A∣λ\cfrac{|A|}{λ}λ∣A∣，且二者有相同的特征向量；
  - 上/下三角矩阵的主对角线元素就是矩阵的特征值；
  - 不可逆矩阵A必有特征根0；
  - 矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关;
  - A的某个特征值λ的特征子空间的维数叫做λ的几何重数，同时称λ的重根数也称为代数重数 ，则任意特征值的几何重数不超过其代数重数 ；
  - 单根有唯一的特征向量，重根的线性无关的特征向量个数不超过重根数；
  - 特殊地，λ=0\lambda=0λ=0的几何重数一定等于代数重数，因为其特征方程(λE−A)x=0⇒Ax=0(\lambda E-A)x=0 \Rightarrow Ax = 0(λE−A)x=0⇒Ax=0 的解就是齐次方程Ax=0Ax= 0Ax=0的解向量的基础解系，因此几何重数为r(x)=n−r(A)r(x)=n-r(A)r(x)=n−r(A)，而已知∣λE−A∣|\lambda E-A|∣λE−A∣的零解就是n−r(A)n-r(A)n−r(A)重根，因此代数重数也为n−r(A)n-r(A)n−r(A)；
  - A×BA\times BA×B与B×AB\times AB×A有相同的非零特征值，且若A×BA\times BA×B的特征向量为xxx，则B×AB\times AB×A的特征向量为BxBxBx；
  - 已知非零向量α,β\alpha,\betaα,β，则r(βαT)=1,tr(βαT)=αTβ,λ(βαT)=tr(βαT),0,0,..r(\beta\alpha^T) = 1,tr(\beta\alpha^T) = \alpha^T\beta,\lambda(\beta\alpha^T) = tr(\beta\alpha^T),0,0,..r(βαT)=1,tr(βαT)=αTβ,λ(βαT)=tr(βαT),0,0,..；
正交矩阵：
- 定义：满足AT=A−1A^T = A^{-1}AT=A−1的矩阵；
- 性质：
  - ∣A∣=±1，λ(A)=±1|A| = \pm1，λ(A) = \pm1∣A∣=±1，λ(A)=±1;
  - 若∣A∣=1|A| = 1∣A∣=1，则至少有一根1 ；若∣A∣=−1|A| = -1∣A∣=−1，则至少有一根 -1;
  - A的行（列）向量构成标准正交向量组；
  - 若AAA是正交矩阵，则A−1,ATA^{-1},A^TA−1,AT也是正交矩阵；
  - 若A,BA,BA,B是正交矩阵，则A×BA\times BA×B也是正交矩阵；
  - aij=∣A∣×Aija_{ij} = |A|\times A_{ij}aij=∣A∣×Aij；
- 施密特（标准）正交化：
  
  设有向量组{α1,α2,..,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n\}{α1,α2,..,αn}，则正交化步骤如下：
  β1=α1⇒β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1⇒βk=αk−∑i=1k−1(αk,βi)(βi,βi)βi\beta_1 = \alpha_1\Rightarrow\beta_2 = \alpha_2 - \cfrac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\Rightarrow\beta_k = \alpha_k-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\cfrac{(\alpha_k,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i β1=α1⇒β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1⇒βk=αk−i=1∑k−1(βi,βi)(αk,βi)βi
  则{β1,β2,..,βn}\{\beta_1,\beta_2,..,\beta_n\}{β1,β2,..,βn}是一个正交向量组，且等价于{α1,α2,..,αn}\{\alpha_1,\alpha_2,..,\alpha_n\}{α1,α2,..,αn}
  
  再将其标准化即可：βi⇒βi∣βi∣\beta_i \Rightarrow \cfrac{\beta_i}{|\beta_i|}βi⇒∣βi∣βi
正交向量组：
- 定义：若向量组所有向量两两正交且不含零向量，则称其为正交向量组，特殊地，若所有向量均是单位向量，则称其为标准正交向量组，也称法正交组；
- 性质：
  - 一对正交的向量一定线性无关，则正交向量组必定线性无关；
  - 欧几里得空间RnR^nRn中n个向量构成的（标准）正交向量组一定是RnR^nRn的一个基，称为**(标准)正交基**；
  - 若向量βββ可用正交向量组ααα线性表示，且有表达式：β=∑kiaiβ = ∑k_ia_iβ=∑kiai，则ki=(β,ai)(ai,ai)k_i = \cfrac{(β,a_i) }{ (a_i,a_i)}ki=(ai,ai)(β,ai) ；
相似矩阵：
- 定义：若存在可逆矩阵P，使得B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP，则称矩阵A、B互为相似矩阵，记作：A～BA～BA～B，同时称P为相似变换矩阵；
- 性质：
  - 若A～BA～BA～B，则：∣A∣=∣B∣,f(A)～f(B),λA=λB|A|=|B|, f(A)～f(B),λ_A = λ_B∣A∣=∣B∣,f(A)～f(B),λA=λB；
  - 若B=P−1APB=P^{-1}APB=P−1AP,则特征向量xB=P−1xAx_B = P^{-1} x_AxB=P−1xA；

对角化：

定义：若存在可逆矩阵P，使得diag(a1,a2,...,an)=P−1APdiag(a_1,a_2,...,a_n) = P^{-1}APdiag(a1,a2,...,an)=P−1AP，则称A能对角化，且此时{a1,a2,...,an}\{a_1,a_2,...,a_n\}{a1,a2,...,an} 即是A的n个特征根，P是A的特征列向量组构成的矩阵；

可对角化的判定定理：

定理	充分必要性
A有n个线性无关的特征向量	充要
A的每个k重根都有k个线性无关的特征向量	充要
A有n个不同的特征值	充分
A为实对称矩阵	充分
A=A−1A = A^{-1}A=A−1	充分

合同矩阵：
- 定义：若存在可逆矩阵CCC，使得CTAC=BC^{T}AC=BCTAC=B，则称A与B合同；特殊地，若存在可逆矩阵CCC，使得CTAC=diag(a1,a2,...,an)C^TAC=diag(a_1,a_2,...,a_n)CTAC=diag(a1,a2,...,an)，则称A能合同对角化；
- 两个实对称矩阵合同的判定定理：
  - 充要条件：A、B有相同的正惯性系数和负惯性系数；
  - 充分条件：A、B相似；
- 矩阵能合同对角化的充分条件：A是实对称矩阵；
二次型：
- 定义：n个变量的二次多项式f(x1,x2,...,xn)f(x_1,x_2,...,x_n)f(x1,x2,...,xn)称为二次型；特殊地，若二次型只含平方项，则称其为标准型，若标准型的系数只在1，−1，0{1，-1，0}1，−1，0中取，则称其为规范型 ；
- 性质：
  - 每一个二次型与实对称矩阵一一对应，即f(x1,x2,...,xn)=xTAxf(x_1,x_2,...,x_n) = x^TAxf(x1,x2,...,xn)=xTAx，其中A是由二次型的系数aija_{ij}aij组成的实对称矩阵；
- 求二次型的标准型的方法：
  - 设二次型f(x1,x2,...,xn)=xTAxf(x_1,x_2,...,x_n)=x^TAxf(x1,x2,...,xn)=xTAx，求AAA的特征根和特征向量，再将特征向量标准正交化组成正交矩阵PPP，即得到PTAP=ΛP^TAP = \LambdaPTAP=Λ；令x=Pyx=Pyx=Py，则可将二次型f(x1,x2,...,xn)f(x_1,x_2,...,x_n)f(x1,x2,...,xn)转化为标准型：
    f(x1,x2,...,xn)=xTAx=xT(PTΛP)x=(Px)TΛ(Px)=yTΛy=g(y1,y2,...,yn)f(x_1,x_2,...,x_n) = x^T A x = x^T(P^T\Lambda P)x = (Px)^T\Lambda(Px) = y^T\Lambda y = g(y_1,y_2,...,y_n) f(x1,x2,...,xn)=xTAx=xT(PTΛP)x=(Px)TΛ(Px)=yTΛy=g(y1,y2,...,yn)
  - 拉格朗日配方法：即将平方项配完全平方公式，将二元一次项配平方差公式；
  - 合同变换法：[AE]⇒[diag(λ)P]\left[\begin{matrix}A\\E\end{matrix}\right] \Rightarrow\left[\begin{matrix} diag(λ) \\ P\end{matrix}\right][AE]⇒[diag(λ)P]；
    
    经过n次列变换，再经过相应n次行变换（称这种变换为成对初等行列变换）即可将AAA化为diag(λ)diag(λ)diag(λ) ，生成标准型：g(y)=yTdiag(λ)yg(y) = y^Tdiag(λ) yg(y)=yTdiag(λ)y，而附带变换得到的PPP即为其正交变换矩阵；

正定矩阵：

定义：设M是n阶实对称方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>0z^TMz> 0zTMz>0，就称M为正定矩阵，其对应的二次型称为正定二次型；其他情况：若对任何非零向量z，都有zTMz≥0z^TMz\ge 0zTMz≥0，则称M为半正定矩阵；若若对任何非零向量z，都有zTMz<0z^TMz< 0zTMz<0，则称M为负定矩阵；若对任何非零向量z，都有zTMz≤0z^TMz\le 0zTMz≤0，则称M为半负定矩阵；类似可以定义其相应的二次型；
性质：
- 正定矩阵的行列式恒为正；
- 惯性定理：对于不同的正交变换x=Pyx=Pyx=Py，x=Qzx=Qzx=Qz，标准型中正/负系数的个数保持不变，并称这个个数为二次型f的正/负惯性系数，正系数与负系数的差值叫做f的符号差；
- 赫尔维茨定理：
  A为正定⇔\Leftrightarrow⇔A的各阶(顺序)主子式为正；
  A为负定⇔\Leftrightarrow⇔A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶(顺序)主子式为正；
  A为半正定 ⇔\Leftrightarrow⇔ A的各阶(顺序)主子式非负；

正定矩阵的判定定理：（以下命题的前提：A为实对称矩阵）

性质	充分必要性
与单位矩阵合同	充要
A的特征值全为正	充要
A的一切主子式为正	充要
A的一切顺序主子式为正	充要
存在实可逆矩阵CCC，使A=CTCA=C^{T}CA=CTC	充要
逆矩阵为正定矩阵	充要
AnA^nAn为正定矩阵	充要
各个正定矩阵的和矩阵	充分

实对称矩阵：
- 实对称矩阵的特征值全部是实数；
- 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交（属于同一特征值的特征向量之间一定线性无关但不一定正交，因此在求正交变换矩阵时，需要正交化）；
- 实对称矩阵必能合同对角化，即存在正交矩阵PPP，使得Λ=PTAP\Lambda = P^TAPΛ=PTAP；
矩阵的秩的相关定理：
- r(A)=rr(A)=rr(A)=r，意味着A存在至少一个非零r阶子式，且A的任意r+1阶子式为0，因此若{rA≥k,∣Ak∣≠0rA<k,∣Ak∣=0\begin{cases}r_A\ge k,&|A_k|\ne0\\r_A<k,&|A_k|=0\end{cases}{rA≥k,rA<k,∣Ak∣=0∣Ak∣=0
- r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)r(A) = r(A^T) = r(A^TA) = r(AA^T)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)；⇒\Rightarrow⇒ Ax=0Ax=0Ax=0和ATAx=0A^TAx=0ATAx=0是同解方程组；
- 若A是n阶方阵，则r(An)=r(An+1)r(A^n) = r(A^{n+1})r(An)=r(An+1)；⇒\Rightarrow⇒ Anx=0A^nx=0Anx=0和An+1x=0A^{n+1}x=0An+1x=0是同解方程组；
- 0≤r(Am×n)≤min{m,n}0 \le r(A_{m\times n}) \le min \{m,n\}0≤r(Am×n)≤min{m,n}；
- max{r(A),r(B)}≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)max\{r(A),r(B)\} \le r(A|B) \le r(A) + r(B)max{r(A),r(B)}≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)；⇒\Rightarrow⇒ 若AB=CAB=CAB=C，则r(A∣C)=r(A∣AB)=r(A)r(A|C)=r(A|AB) = r(A)r(A∣C)=r(A∣AB)=r(A)
- r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B) \le r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)；
- 分块矩阵：r(AOOB)=r(A)+r(B)r\left(\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix} \right) = r(A)+r(B)r(AOOB)=r(A)+r(B)；
- 西尔维斯特秩不等式：r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(A)+r(B)-n \le r(AB) \le min\{r(A),r(B)\}r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}；
  
  ⇒\Rightarrow⇒ 当AB=OAB=OAB=O时，r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\le nr(A)+r(B)≤n（B⊂X,AX=OB\subset X,AX=OB⊂X,AX=O，又r(X)=n−r(A),r(B)≤r(X)r(X) = n-r(A),r(B)\le r(X)r(X)=n−r(A),r(B)≤r(X)）；
- 弗罗贝尼乌斯秩不等式：r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)r(ABC) \ge r(AB) + r(BC) - r(B)r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B) ；
- 伴随矩阵的秩：r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)≤n−2r(A^*) =\begin{cases} n ,& r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) \le n-2 \end{cases}r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)≤n−2；
- r(αβT)≤1r(\alpha\beta^T) \le 1r(αβT)≤1；

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矩阵：

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