线性代数考研笔记（四）

2024-05-30 09:24:08

向量空间：

线性代数考研笔记（四）：线性空间
- 向量空间：
- 变换公式：
- 向量组的线性相关性定理：

线性代数考研笔记（四）：线性空间

向量空间：
- 定义：全体n维向量，连同向量的加法和数乘运算一起，合称为n维向量空间；
- 子空间：设WWW是n维向量的非空集合，若满足：
  - ∀α,β∈W,α+β∈W\forall \alpha,\beta \in W,\alpha+\beta \in W∀α,β∈W,α+β∈W；
  - ∀α∈W,对于∀k∈R，有kα∈W\forall \alpha \in W,对于\forall k \in R，有k\alpha \in W∀α∈W,对于∀k∈R，有kα∈W；
  则称WWW是n维向量空间的子空间；
- 向量空间的维数和基底：
  - 无限维：当VVV中包含任意多个线性无关的向量时，称VVV为无限维，如闭区间上所有的连续函数；
  - 若VVV中仅有有限个线性无关的n维向量a1⃗,a2⃗,...,ar⃗\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_r}a1,a2,...,ar，且VVV中任意向量均可由其线性表示，则称VVV的维数为rrr，记作dim(V)dim(V)dim(V)，称为{ai}\{a_i\}{ai}为VVV 的一组基底；
  - 规范正交基：若一组基底{ei⃗}\{\vec{e_i}\}{ei}满足：(ei⃗,ej⃗)={1,i=j0,i≠j(\vec{e_i},\vec{e_j}) = \begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j \end{cases}(ei,ej)={1,0,i=ji=j，则称{ei⃗}\{\vec{e_i}\}{ei}为规范正交基；
- 向量的内积运算：
  - 实向量内积：(α,β)=αTβ(α,β) = α^Tβ(α,β)=αTβ；
  - 复向量内积：(α,β)=αTβ′(α,β) = α^Tβ'(α,β)=αTβ′，其中β′β'β′为βββ的共轭向量；
  - tr(αβT)=tr(βαT)=αTβ=βTαtr(\alpha\beta^T) = tr(\beta\alpha^T) = α^Tβ = \beta^T\alphatr(αβT)=tr(βαT)=αTβ=βTα；
变换公式：
- 向量在一组基底下的坐标表示：q⃗=[a1⃗,a2⃗,...,an⃗](x1,x2,..,xn)T\vec{q} = [\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}](x_1,x_2,..,x_n)^Tq=[a1,a2,...,an](x1,x2,..,xn)T；
- 基底变换公式：[b1⃗,b2⃗,...,bn⃗]=[a1⃗,a2⃗,...,an⃗]P[\vec{b_1},\vec{b_2},...,\vec{b_n}] = [\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}]P[b1,b2,...,bn]=[a1,a2,...,an]P，其中PPP可逆，称作从基底a到基底b的过渡矩阵；
- 坐标变换公式：设(x1,x2,...,xn)T(x_1,x_2,...,x_n)^T(x1,x2,...,xn)T为向量qqq在基底{ai}\{a_i\}{ai}下的坐标，(y1,y2,...,yn)T(y_1,y_2,...,y_n)^T(y1,y2,...,yn)T为向量qqq在基底{bi}\{b_i\}{bi}下的坐标，则有：(x1,x2,...,xn)T=P(y1,y2,...,yn)T(x_1,x_2,...,x_n)^T = P(y_1,y_2,...,y_n)^T(x1,x2,...,xn)T=P(y1,y2,...,yn)T ，其中PPP是从基底{ai}\{a_i\}{ai}到基底{bi}\{b_i\}{bi}的过渡矩阵；
- 规范正交基替换公式：若{ei⃗}\{\vec{e_i}\}{ei}是一组规范正交基，则{εi⃗}={ei⃗}P\{\vec{\varepsilon_i}\} = \{\vec{e_i}\}P{εi}={ei}P也是规范正交基的充要条件：PPP是正交矩阵；
向量组的线性相关性定理：
- 替换定理：向量组a1,a2,...,ana_1,a2,...,a_na1,a2,...,an线性无关，若b=∑kiaib=∑k_ia_ib=∑kiai, 且任意kj≠0k_j≠0kj=0，则用bbb替换aja_jaj后，所得到的新向量组仍然线性无关；反之，若b=∑kiaib=∑k_ia_ib=∑kiai, 且kj=0k_j=0kj=0，则用bbb替换aja_jaj后，所得到的新向量组线性相关；
- 延伸定理：若s维向量组a1,a2,...,asa_1,a_2,...,a_sa1,a2,...,as线性无关，则每个aia_iai再添n-s个分量后的n维向量组a1′,a2′,...,as′a_1',a_2',...,a_s'a1′,a2′,...,as′仍然线性无关；
- 超维定理：任意n+1个n维向量必定线性相关；
- 向量组的秩：向量组的秩为其极大线性无关组的向量个数；
- 向量组的等价性：
  - 向量组B能由向量组A线性表示 ⇒r(B)≤r(A)\Rightarrow r(B) \le r(A)⇒r(B)≤r(A)；
  - A、B等价 ⇔\Leftrightarrow⇔ A、B能互相线性表示 ⇔\Leftrightarrow⇔ AX=B有解且BY=A有解AX=B有解且BY=A有解AX=B有解且BY=A有解 ⇔\Leftrightarrow⇔ r(A)=r(B)=r(A∣B)r(A)=r(B)=r(A|B)r(A)=r(B)=r(A∣B)；
  - A、B等价 ⇒\Rightarrow⇒ r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B)；
  - 向量组等价于其极大线性无关组；

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