牛客算法笔记【second week】

1.归并排序

merge合并

2.归并排序的扩展

–小和问题

任何一个数右边有多少个数比它大

归并排序比较之后就有序，

可直接通过下标计算的方式确定大小关系，

有序范围不断扩大，更加快速高效

–逆序对问题

左边数比右边数大构成逆序对

任何一个数右边有多少个数比它小

《笔试必出现》

3.优点：任何比较都会变成有序的部分

使O(N^2)变成O(N*log2 N）

4.递归形式变成非递归形式

最多变几回O(N*log2 N）

3.堆排序

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首先理解堆结构

—>某一个黑盒结构，用户要求提供两个方法

第一个add(num)添加数字到黑盒中

第二个popmax()返回int，把最大值返回并从黑盒中拿掉

用户要求该两个方法时间复杂度尽量低

堆，分为实际结构和脑海中结构，实际上是数组结构，脑海中是完全二叉树结构

完全二叉树是指：：满足从左到右依次变满的过程，例如：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-PAqaS00w-1656476490844)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_27645\Image.png)]

反例，（不是）：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vu0ieLsJ-1656476490844)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_2152\Image.png)]

即：必须在每一层满足从左到右变满（这是脑海中的堆结构，而实际上是数组形式）

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对应规则：任意一个位置i，左孩子2i+1,右孩子2i+2,父（i-1）/2.（注意：-1/2在计算机中是0）

（补充：默认完全二叉树都是从0开始的）

例如从1开始：左孩子2i,右孩子2i+1,父i/2.

往数据中不断填值即为二叉树在不断增长

堆分大根堆和小根堆，大根堆：头节点是最大值

例如：

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用户每输入一个i都和自己的父（i-1）/2比较，比父大即交换，保证每一步都是大根堆，在一个连续的范围内都是有序的，保证每加上一个数都是大根堆（heapinsert）

代码：

//arr[0...index-1]已经是大根堆了，某个数现在处在index位置上，往上继续移动
//arr[0...index]都是大根堆
public static void heapinsert(int[] arr,int index){//1   2
while(arr[index]>arr[(index-1)/2]){swap(arr,index,(index-1)/2);
index = (index-1)/2;
}
}

add()方法的时间复杂度是O(logN)

下面介绍popmax()方法

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找到最大值并返回，并把这个数删掉

大根堆的值就是最大值，令t=8保存最大值，通过有效区长度6找到最后一个数，填到0位置，把有效区长度改为5，然后从头部开始，做heapify 操作，找最大的孩子，和自己交换，不断向下直到没有孩子（超过有效区大小，即越不越界），此时整个结构依然是大根堆。heapify和popmax都是logN水平的。

解释：扩容一次要复制原数组，时间复杂度是O(N），总扩容次数是logN，总时间复杂度是logNO(N),所以平均单次扩容的时间复杂度是（logNO(N)）/N，得logN（总添加次数是N，并非每次添加都扩容）

优先级序列的底层就是堆，

实际工程中不使用链表，因为无法使用公式，在数组中寻址很快，能迅速找到一个数的左孩子和右孩子。

//某个数再index位置，看看是否往下沉
//不断和左右两个孩子比较
//较大的孩子如果大于了当前的父，父节点往下沉，较大孩子上来
public static void heapify(int[] arr,int index,int heapSize){int left = index*2+1;//左孩子的下标
while(left<heaoSize){//下方还有孩子的时候
//两个孩子中，谁的值大，就把下标给largest
int largest = left +1<heapSize&&arr[left+1]>arr[left]
?left+1:left;
//父和比较大的孩子之间，谁的值大，把下标给largest
largest = arr[largest]>arr[index]?lardest:index;
if(largest==index){//最大值就是自己
break;
}
swap(arr,largest,index);//最大值不是自己则交换
index=largest;//index来到下方
left=index*2+1;//重新找孩子
}
}

堆排序举例：先使有效区=0，使整个数组变成大根堆

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第一步目标达成。

现在有效区=5，

等同于做popmax()操作，尾和头交换，有效区-1

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然后从头节点做heapify操作

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-bMhz2qNg-1656476490849)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_5838\Image.png)]

再把有效区-1，使4断联

再从0开始做heapify。。。一直到有效区减成0，排序完成

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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-k8XUTgXV-1656476490850)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_23057\Image.png)]

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6pAT5MEU-1656476490851)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_11852\Image.png)]

这就是堆排序。

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估计总时间复杂度

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-XEfisJlT-1656476490852)(C:\Users\Ulrica\AppData\Local\Temp\chrome_drag24592_24370\Image.png)]

O(N)

总结：用户一股脑给全部数据比一步一步heapinsert要快

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假设k=7，申请一个大小为8的小根堆，把数组的前8个数扔到小根堆里，然后弹出一个最小值，放在0位置，完毕。

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