概率论和数理统计(matlab应用)1

(2006-04-29 08:53:49)

12.1 概 述

自然界和社会上会发生各种各样的现象，其中有的现象在一定条件下是一定要发生的，有的则表现出一定的随机性，但总体上又有一定的规律可循。一般称前者为确定性事件，后者为不确定性事件(或称随机事件)。概率论和数理统计就是研究和揭示不确定事件统计规律性的一门数学学科。

作为一门实用性很强的数学分支，概率论和数理统计的理论和方法已经广泛应用于管理、经济、心理、教育、体育、医学、生物、化学、机械、水文、地质、林业、气象、工业生产、建筑、通讯、自动控制等几乎所有社会和科学技术领域。

Matlab6.0的统计工具箱相对于前面一些版本，改进较大。目前已经可以与SPSS、SAS等软件的统计功能相媲美。具体而言，它包括下面几个方面的内容：

●概率分布 给出了常见的20种概率分布类型的概率密度函数、累加分布函数(分布函数)、逆累加分布函数、参数估计函数、随机数生成函数和统计量计算函数。

●参数估计 提供了多种分布类型分布参数及其置信区间的估计方法。

●样本描述 提供了描述中心趋势和离中趋势的统计量函数，缺失数据条件下的样本描述方法以及其它一些统计量计算函数。

●方差分析 包括单因子方差分析、双因子方差分析和多因子方差分析。

●多元方差分析 包括单因素多元方差分析、分组聚类和多元比较等。

●回归分析 包括多元线性回归(包括逐步回归)、岭回归、一般线性模型拟合、多项式拟合、稳健回归、响应面分析(包括二维响应面分析和多维响应面分析)、非线性回归。

●假设检验 包括单样本t检验、双样本t检验和z检验。

●分布的检验 包括Jarque-Bera正态性检验、Kolmogorov-smirnov单样本检验、Kolmogorov-smirnov双样本检验和Lilliefors正态性检验。

●非参数检验 包括friedman检验、Kruskalwallis检验、秩和检验、符号秩检验和符号检验。

●判别分析

●聚类分析

●因子分析

●统计过程控制 提供了常用的过程管理图和过程性能图。

●试验设计 包括完全析因设计、不完全析因设计和D-优化设计。

●统计图 包括箱形图、经验累加分布函数图、误差条图、函数交互等值线图、交互画线、交互点标注、散点矩阵图、散点图、添加最小二乘拟合线、正态概率图、帕累托图、q-q图、回归个案次序图、参考多项式曲线、添加参考线、交互插值等值线图和威布尔图。

12.2 概 率 分 布

试验得到的数据通常呈现一定的规律性，引入随机变量以后，可以将随机数据表达为随机变量的函数。常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。

●当变量全部可以取到的值是有限个或可列无限多个时，称为离散型随机变量。

●如果对于随机变量x的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有

(12.1)

则称X为连续型随机变量。

对应于离散型随机变量和连续型随机变量，有离散型概率分布函数和连续型概率分布函数。

12.2.1 概率密度函数

12.2.1.1 基本数学原理

对于离散型概率分布和连续型概率分布，二者的概率密度函数定义有所不同。上面(12.1)式中，函数f(x)称为X的概率密度函数。该函数具有以下性质：

●

●

●

●若f(x)在点x处连续，则有 。

对于离散型概率分布，则不称其为概率密度函数，而叫做概率分布或分布律。设离散型随机变量x所有可能取的值为xk(k=1,2,…)，x取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为：

P{X=xk}=pk, k=1,2,…

pk即称为分布律。它有下面两个性质：

●

●

12.2.1.2 相关函数介绍

对于连续型概率分布函数，表12-2给出了对应函数的概率密度函数及其数学意义和调用格式。下面选择正态分布概率密度函数和指数分布概率密度函数进行重点介绍。

normpdf函数

功能：计算正态概率密度函数。

语法：Y = normpdf(X,MU,SIGMA)

描述：normpdf(X,MU,SIGMA) 计算参数为MU和SIGMA的数据X的正态概率密度函数。参数SIGMA必须为正。

正态概率密度函数的计算公式为:

似然函数为概率密度函数，它被视为参数的函数。最大似然估计量(MLEs)是使x处的似然函数最小化时的值。

若x服从标准正态分布，则x + µ 也服从均值为µ，标准差为σ的正态分布。相反地，若y服从参数为µ和σ的正态分布，则x = (y -µ)/σ服从标准正态分布。

举例：

mu = [0:0.1:2];

[y i] = max(normpdf(1.5,mu,1));

MLE = mu(i)

MLE =

1.5000

exppdf函数

功能：计算指数概率密度函数。

语法：Y = exppdf(X,MU)

描述：exppdf(X,MU) 计算X处的参数为MU的指数概率密度函数。MU参数必须为正。

指数概率密度函数为:

指数概率密度函数等价于第一个参数(a)等于1时的伽玛概率密度函数。

举例：

y = exppdf(5,1:5)

y =

0.0067 0.0410 0.0630 0.0716 0.0736

y = exppdf(1:5,1:5)

y =

0.3679 0.1839 0.1226 0.0920 0.0736

表12-2 常见分布的概率密度

函数名对应的分布数 学 意 义调 用 格 式

betapdf贝塔分布 ( )

Y = betapdf(X,A,B)

binopdf二项分布

Y=binopdf(X,N,P)

chi2pdf卡方分布

Y=chi2pdf(X,V)

exppdf指数分布

Y=exppdf(X,MU)

fpdfF分布

Y=fpdf(X,V1,V2)

gampdf伽玛分布

Y=gampdf(X,A,B)

geopdf几何分布

其中，

Y=geopdf(X,P)

hygepdf超几何分布

Y=hygepdf(X,M,K,N)

normpdf正态(高斯)分布

Y=normpdf(X,MU,SIGMA)

lognpdf对数正态分布

Y=lognpdf(X,MU,SIGMA)

nbinpdf负二项分布

其中，

Y=nbinpdf(X,R,P)

ncfpdf非中心F分布假设随机变量 服从自由度为 、非中心参数为 的非中心卡方分布， 服从自由度为 的卡方分布，且 和 相互独立，则随机变量 的分布称为自由度为( ， )、非中心参数为 的非中心F分布。

Y=ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA)

nctpdf非中心t分布如果U服从参数为 和1的正态分布， 服从自由度为v的 分布，并且U与 相互独立，则称随机变量 的分布为自由度为v、非中心参数为 的非中心t分布。

Y=nctpdf(X,V,DELTA)

ncx2pdf非中心卡方分布如果随机变量Xi服从参数为 (i=1,…,v)和 的正态分布，并且相互独立，则随机变量 所服从的分布称为自由度为v、非中心参数为 的非中心 分布。Y=ncx2pdf(X,V,DELTA)

poisspdf泊松分布

Y=poisspdf(X,LAMBDA)

raylpdf雷利分布

Y=raylpdf(X,B)

tpdf学生氏t分布

Y=tpdf(X,V)

unidpdf离散均匀分布

Y=unidpdf(X,N)

unifpdf连续均匀分布

Y=unifpdf(X,A,B)

weibpdf威布尔分布

Y=weibpdf(X,A,B)

12.2.2 累加分布函数

12.2.2.1 基本数学原理

对于连续型随机变量，其分布函数的定义为：若X为随机变量，x为任意实数，则函数

称为X的分布函数。如果知道X的分布函数，就知道了X落在任一区间(x1,x2］上的概率。

分布函数F(x)具有以下一些性质：

●F(x)是不减函数；

● 且

● ，即F(x)是右连续的。

12.2.2.2 相关函数介绍

normcdf函数

功能：计算累加正态分布函数。

语法：P = normcdf(X,MU,SIGMA)

描述：normcdf(X,MU,SIGMA) 计算服从参数为MU和SIGMA的正态分布数据X的累加分布函数。参数SIGMA必须为正。

累加正态分布函数为:

结果p为取自参数为µ和 的正态分布的单个观测量落在区间(- x]中的概率。

举例：

下面的例子求取自标准正态分布的一个观测量落在区间[-1 1]中的概率。

p = normcdf([-1 1]);

p(2) - p(1)

ans =

0.6827

更一般地，若观测量取自参数为 和µ的正态分布，则它落在该区间中的概率为68%。

expcdf函数

功能：计算累加指数分布函数。

语法：P = expcdf(X,MU)

描述：expcdf(X,MU) 计算参数为MU的数据X的累加指数分布函数。指数MU必须为正。

累加指数分布函数的计算公式为:

结果p为源于指数分布的单个观测量落在区间[0 x]中的概率。

举例：

指数为µ的指数分布数据的中值等于µ*log(2)，下例进行演示。

mu = 10:10:60;

p = expcdf(log(2)*mu,mu)

p =

0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

下面计算指数分布随机变量小于或等于均值µ的概率。

mu = 1:6;

x = mu;

p = expcdf(x,mu)

p =

0.6321 0.6321 0.6321 0.6321 0.6321 0.6321

表12-3中为常见分布的累加函数及其调用格式。

表12-3 常见分布的累加函数

函数名累加函数对应

的分布数 学 意 义调 用 格 式

betacdf贝塔分布

P=betacdf(X,A,B)

binocdf二项分布

Y=binocdf(X,N,P)

chi2cdf卡方分布

P=chi2cdf(X,V)

expcdf指数分布

P=expcdf(X,MU)

fcdfF分布 P=fcdf(X,V1,V2)

gamcdf伽玛分布

P=gamcdf(X,A,B)

geocdf几何分布

Y=geocdf(X,P)

hygecdf超几何分布

P=hygecdf(X,M,K,N)

logncdf对数正态分布

P=logncdf(X,MU,SIGMA)

nbincdf负二项分布

Y=nbincdf(X,R,P)

ncfcdf非中心F分布 P=ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA)

nctcdf非中心t分布 P=nctcdf(X,NU,DELTA)

ncx2cdf非中心卡方分布

P=ncx2cdf(X,V,DELTA)

normcdf正态(高斯)分布

P=normcdf(X,MU,SIGMA)

poisscdf泊松分布

P=poisscdf(X,LAMBDA)

raylcdf雷利分布

P=raylcdf(X,B)

tcdf学生氏t分布 P=tcdf(X,V)

unidcdf离散均匀分布

P=unidcdf(X,N)

unifcdf连续均匀分布

P=unifcdf(X,A,B)

weibcdf威布尔分布

P=weibcdf(X,A,B)

12.2.3 参数估计

12.2.3.1 基本数学原理

参数估计的内容包括点估计和区间估计。

点估计是用单个数值作为参数的估计，常用的方法有矩法和极大似然法等。

●矩法 某些情况下，待估参数往往是总体原点矩或原点矩的函数，此时可以用取自该总体的样本的原点矩或样本原点矩的函数值作为待估参数的估计，这种方法称为矩法。如，样本均值总是总体均值的矩估计量，样本方差总是总体方差的矩估计量，样本标准差总是总体标准差的矩估计量。

●极大似然法 极大似然法是在待估参数的可能取值范围内进行挑选，使似然函数值(即样本取固定观察值或样本取值落在固定观察值邻域内的概率)最大的那个数值即为极大似然估计量。由于极大似然估计量得到的估计量通常不仅仅满足无偏性、有效性等基本条件，还能保证其为充分统计量。所以，在点估计和区间估计中，一般推荐使用极大似然法。

区间估计不仅仅给出参数的近似取值，还给出了该取值的误差范围。求参数的区间估计，首先要求出该参数的点估计，然后构造一个含有该参数的随机变量，并根据一定的置信水平求该估计值的误差范围。

12.2.3.2 相关函数介绍

normfit函数

功能：对正态分布数据进行参数估计，求参数的置信区间。

语法：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

描述：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) 对于给定的服从正态分布的数据矩阵X，返回参数µ和σ的估计值muhat和sigmahat。muci和sigmaci为95%置信区间。muci和sigmaci向量分别有两行，其列数与数据矩阵X的列数相同。上下两行的数据分别为置信区间的下限和上限。

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 进行参数估计并计算100(1-alpha)置信区间。如alpha = 0.01时，给出99%置信区间。

举例：

本例中，数据为两列随机正态矩阵。两列都有µ = 10 和σ= 2。

r = normrnd(10,2,100,2);

[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)

mu =

10.1455 10.0527

sigma =

1.9072 2.1256

muci =

9.7652 9.6288

10.5258 10.4766

sigmaci =

1.6745 1.8663

2.2155 2.4693

参见：

betafit, binofit, expfit, gamfit, poissfit, unifit, weibfit

betafit函数

功能：对服从贝塔分布的数据进行参数估计，并计算置信区间。

语法：phat = betafit(x)

[phat,pci] = betafit(x,alpha)

描述：betafit函数计算服从贝塔分布的数据x的参数的最大似然估计，有两个输出变量。该函数也可以以2×2矩阵的形式返回参数的置信区间，矩阵的第一列包括A参数的下界和上界，第二列包括B参数的下界和上界。

alpha参数为输入变量的可选项，它控制置信区间的宽度。在缺省情况下，alpha等于0.05，对应于95%置信区间。

举例：

本例首先用betarnd函数生成100个服从贝塔分布的数据。假设参数真值分别为4和3，现利用betafit函数进行参数估计，并计算参数的置信区间。

r = betarnd(4,3,100,1);

[p,ci] = betafit(r,0.01)

p =

3.9010 2.6193

ci =

2.5244 1.7488

5.2777 3.4899

参见：

betalike, mle

betalike函数

功能：计算负贝塔对数似然函数。

语法：logL = betalike(params,data)

[logL,info] = betalike(params,data)

描述：logL = betalike(params,data) 对于给定的数据data，返回两个beta参数的贝塔对数似然负函数。logL的长度为data的长度。

[logL,info] = betalike(params,data) 该形式还返回费歇尔信息矩阵info。费歇尔信息矩阵的对角线上为各参数的渐进方差。

Betalike函数是一个工具函数，用于求取贝塔函数的最大似然估计。要求数据样本满足相互独立的似然假设。由于betalike函数返回负的伽玛对数似然函数，所以使用fmins函数最小化betalike的效果与最大化likelihood函数的相同。

举例：

继续使用betafit函数的例子。

r = betarnd(4,3,100,1);

[logl,info] = betalike([3.9010 2.6193],r)

logl =

-33.0514

info =

0.2856 0.1528

0.1528 0.1142

参见：

betafit, fmins, gamlike, mle, weiblike

mle函数

功能：进行最大似然估计。

语法：phat = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)

描述：phat = mle('dist',data) 用data向量中的样本返回‘dist’指定的分布的最大似然估计(MLEs)。

[phat,pci] = mle('dist',data) 返回最大似然估计和95%置信区间。

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha) 返回指定分布的最大似然估计值和100(1-alpha)置信区间。

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1) 该形式仅用于二项分布，其中p1为试验次数。

举例：

rv = binornd(20,0.75)

rv =

16

[p,pci] = mle('binomial',rv,0.05,20)

p =

0.8000

pci =

0.5634

0.9427

参见：

betafit, binofit, expfit, gamfit, normfit, poissfit, weibfit

表12-4中为常见分布的参数估计函数及其调用格式。

表12-4 常见分布的参数估计函数及其调用格式

函 数 名参数估计对应的分布调 用 格 式

betafit贝塔分布phat = betafit(x)

[phat,pci] = betafit(x,alpha)

betalike贝塔对数似然函数logL=betalike(params,data)

[logL,info]=betalike(params,data)

binofit二项分布phat=binofit(x,n)

[phat,pci]=binofit(x,n)

[phat,pci]=binofit(x,n,alpha)

expfit指数分布muhat=expfit(x)

[muhat,muci]=expfit(x)

[muhat,muci]=expfit(x,alpha)

gamfit伽玛分布phat=gamfit(x)

[phat,pci]=gmfit(x)

[phat,pci]=gamfit(x,alpha)

gamlike伽玛似然函数logL=gamlike(params,data)

[logL,info]=gamlike(params,data)

mle极大似然估计phat=mle(‘dist’,data)

[phat,pci]=mle(‘dist’,data)

[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha)

[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,p1)

normlike正态对数似然函数L=normlike(params,data)

normfit正态分布[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)

poissfit泊松分布lambdahat=poissfit(X)

[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X)

[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)

unifit均匀分布[ahat,bhat]=unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,alpha)

weibfit威布尔分布phat=weibfit(x)

[phat,pci]=weibfit(x)

[phat,pci]=weibfit(x,alpha)

weiblike威布尔对数似然函数logL=weiblike(params,data)

[logL,info]=weiblike(params,data)

12.2.4 逆累加分布函数

12.2.4.1 基本数学原理

逆累加分布函数是累加分布函数的逆函数。利用逆累加分布函数，可以求得满足给定概率时随机变量对应的置信区间的最小值和最大值。

12.2.4.2 相关函数介绍

norminv函数

功能：计算正态累加分布函数的逆函数。

语法：X = norminv(P,MU,SIGMA)

描述：norminv(P,MU,SIGMA) 计算P处参数为MU和SIGMA的正态累加函数的逆函数。SIGMA必须为正，P值必须属于[0 1]区间。

下面用正态累加分布函数的形式来定义正态逆函数。

其中

结果x为上面参数为µ和σ的整型方程的解，其中提供了概率p。

举例：

求包含标准正态分布数据95%的值的区间。

x = norminv([0.025 0.975],0,1)

x =

-1.9600 1.9600

注意，x区间不是符合要求的唯一区间，但是是最短的。

xl = norminv([0.01 0.96],0,1)

xl =

-2.3263 1.7507

区间xl也包含95%的值，但它比x长。

expinv函数

功能：计算指数累加分布函数的逆函数。

语法：X = expinv(P,MU)

描述：

expinv(P,MU) 计算P处参数为MU的指数累加分布函数的逆函数。MU必须为正，P值必须界于0和1之间。

指数累加分布函数的逆函数为:

结果x表示取自参数为µ的指数分布的观测值落在[0 x]区间内的概率为p时对应的值。

举例：

假设电灯的使用寿命服从mu等于700小时的指数分布，求电灯使用寿命的中值。

expinv(0.50,700)

ans =

485.2030

所以，假设你买了一箱使用寿命为"700小时"的电灯，若700小时为电灯的平均寿命，则其中一半的使用寿命不会超过500小时。

表12-5为常见分布的累加分布逆函数及其调用格式。

表12-5 常见分布的累加分布逆函数

函数名累加分布函数逆函数对应的分布调 用 格 式

betainv贝塔分布X=betainv(P,A,B)

binoinv二项分布X=binoinv(Y,N,P)

chi2inv卡方分布X=chi2inv(P,V)

expinv指数分布X=expinv(P,MU)

finvF分布X=finv(P,V1,V2)

gaminv伽玛分布X=gaminv(P,A,B)

geoinv几何分布X=geoinv(Y,P)

hygeinv超几何分布X=hygeinv(P,M,K,N)

logninv对数正态分布X=logncdf(X,MU,SIGMA)

nbininv负二项分布Y=nbincdf(X,R,P)

ncfinv非中心F分布P=ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA)

nctinv非中心t分布P=nctcdf(X,NU,DELTA)

ncx2inv非中心卡方分布P=ncx2cdf(X,V,DELTA)

icdf

norminv正态(高斯)分布X=norminv(P,MU,SIGMA)

poissinv泊松分布X=poissinv(P,LAMBDA)

raylinv雷利分布X=raylinv(P,B)

tinv学生氏t分布X=tinv(P,V)

unidinv离散均匀分布X=unidinv(P,N)

unifinv连续均匀分布X=unifcdf(X,A,B)

weibinv威布尔分布X=weibcdf(X,A,B)

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