[4827][Hnoi2017]礼物—

题目大意：

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小，这个最小值是多少呢？

思路：

可以看一下可以不可以把式子拆开。

∑i=1n(xi−yi+c)2=∑i=1nx2i+y2i+c2+2c(xi−yi)−2xy=∑i=1n(x2i+y2i)+2c∑i=1n(xi−yi)+nc2−∑i=1n2xiyi∑i=1n(xi−yi+c)2=∑i=1nxi2+yi2+c2+2c(xi−yi)−2xy=∑i=1n(xi2+yi2)+2c∑i=1n(xi−yi)+nc2−∑i=1n2xiyi

\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i+c)^2\\=\sum_{i=1}^{n}x_i^2+y_i^2+c^2+2c(x_i-y_i)-2xy\\=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2+y_i^2)+2c\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)+nc^2-\sum_{i=1}^{n}2x_iy_i
只需要独立地对每一个部分求解最优解即可。
第一部分是定值，第二部分可以用二次函数的最值来做。
第三部分不难发现可以 n2n2n^2枚举其中一个环的排列情况后计算答案。考虑把一段环拆开并且复制成两份，我们发现环在不断移动的过程就是每一个下标不断加1的过程。两个数组中的下标的差为定值，于是一个经典的做法就是把其中一个数组反转，反转之后就会变成和为定值，这也就刚好是满足多项式乘法的系数表示，直接FFT计算即可。

#include<bits/stdc++.h>#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)using namespace std;void File(){freopen("bzoj4827.in","r",stdin);freopen("bzoj4827.out","w",stdout);
}const double pi=acos(-1.0);
const int maxn=50000+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,lim=1,dn[maxn<<3],cnt,ans=0,sum,sum0;struct Complex{double x,y;Complex(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
};
Complex operator + (Complex a,Complex b){return (Complex){a.x+b.x,a.y+b.y};}
Complex operator - (Complex a,Complex b){return (Complex){a.x-b.x,a.y-b.y};}
Complex operator * (Complex a,Complex b){return (Complex){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};}
Complex a[maxn<<3],b[maxn<<3];void fft(Complex *A,int ty){REP(i,0,lim-1)if(i<dn[i])swap(A[i],A[dn[i]]);for(int len=1;len<lim;len<<=1){Complex w(cos(2.0*pi/(len<<1)),ty*sin(2.0*pi/(len<<1)));for(int L=0;L<lim;L+=len<<1){Complex wk(1,0);REP(i,L,L+len-1){Complex u=A[i],v=wk*A[i+len];A[i]=u+v;A[i+len]=u-v;wk=wk*w;}}}
}int main(){File();scanf("%d%d",&n,&m);int tmp;REP(i,1,n)scanf("%d",&tmp),a[n-i].x=tmp,sum+=tmp*tmp,sum0+=tmp;REP(i,1,n)scanf("%d",&tmp),b[i-1].x=b[i-1+n].x=tmp,sum+=tmp*tmp,sum0-=tmp;while(lim<=n*3-3)lim<<=1,++cnt;if(!cnt)cnt=1;REP(i,0,lim-1)dn[i]=(dn[i>>1]>>1)|((i&1)<<(cnt-1));fft(a,1);fft(b,1);REP(i,0,lim-1)a[i]=a[i]*b[i];fft(a,-1);//REP(i,0,lim-1)printf("%d\n",(int)(a[i].x/lim+0.5));REP(i,n-1,2*n-2)ans=max(ans,(int)(a[i].x/lim+0.5));int x=-sum0/n,Min=inf;Min=min(Min,n*x*x+2*sum0*x);Min=min(Min,n*(x+1)*(x+1)+2*sum0*(x+1));Min=min(Min,n*(x-1)*(x-1)+2*sum0*(x-1));ans=sum+Min-ans*2;printf("%d\n",ans);return 0;
}

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