数学与应用数学专业

课程教学大纲

惠州学院数学系

2004年

目 录

《数学分析》课程教学大纲2

《高等代数》教学大纲7

《解析几何》课程教学大纲14

《C++》课程教学大纲17

《常微分方程》课程教学大纲24

《复变函数》课程教学大纲27

《近世代数》课程教学大纲32

《中学数学教学论》课程教学大纲35

《高等几何》课程教学大纲38

《组合数学》课程教学大纲42

《初等数学研究》课程教学大纲46

《初等数论》课程教学大纲51

《数学史》课程教学大纲54

《实变函数》课程教学大纲58

《计算方法》课程教学大纲62

《数学模型》课程教学大纲68

《运筹学》课程教学大纲74

《现代应用数学方法》课程教学大纲77

《数理统计》课程教学大纲80

《拓扑学》课程教学大纲84

《泛函分析》课程教学大纲86

《数学分析》课程教学大纲

MATHEMATICAL ANALYSIS

(2002年修订 马瑞静执笔)

一、选用专业，学时及学分

本课程适用专业为：数学与应用数学专业；学时：276，学分:16学分，分三学期授课(第一、二、三学期 )。

二、课程的性质、目的和任务

本课程是高等师范院校数学教育专业的一门最重要的基础课，授课时间最长。通过本课程的学习使学生掌握极限论，一元函数微积分学，无穷级数及多元函数微积分学方面的系统知识，为进一步学习复变函数论，微分方程，微分几何，概率论与数理统计，实变函数，数学模型等后续课程，也是为深入理解初等数学及从事中学数学工作打下坚实的基础。

三、课程的基本内容、重点及难点

(一)函数

函数概念，函数的四则运算、图象、数列、函数的有界性、单调性，奇偶性、周期性，复合函数，反函数，初等函数。

重点和难点：函数的概念与表示，函数的复合运算。

(二)数列极限

极限思想、数列极限概念、收敛数列的性质：唯一性、有界性、单调性，保号性、迫敛性；收敛数列的四则运算，数列收敛的判别法；单调有界定理，柯西收敛准则；子数列及其收敛性。

重点和难点：数列极限概念，ε—N方法的运用

(三)函数极限

x→∞时函数f(X)的极限，x→a时函数f(X)的极限 ，单侧极限，函数极限的性质，函数极限 与数列极限的关系，函数极限存在判别法，无穷小，无穷大，无穷小的比较。

重点和难点：函数极限概念，ε---δ方法的运用，柯西收敛准则。

(四)连续函数

函数在一点的连续性，函数在区间的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，一致连续性；连续函数的四则运算，反函数，复合函数及初等函数的连续性。

重点和难点：连续函数的概念，间断点，一致连续性。

(五)实数的连续性

实数连续性的基本定理：闭区间套定理，确界定理，有限复盖定理，聚点定理 ，致密性定理，柯西收敛准则；闭区间连续函数性质的证明。

重点及难点：柯西收敛准则，实数完备性定理的等价性。

(六)导数与微分

引出导数概念的实例，导数概念；求导法则与导数公式;隐函数与参数方程求导法则；微分概念及运算，近似计算；高阶导数与高阶微分。

重点和难点：导数概念及其计算，复合函数微分法。

(七)微分学基本定理及其应用

微分中值定理；待定型计算的洛必达法则；泰勒公式；导数在研究函数上的应用：单调性的判定，极限与最值，曲线凹凸性，拐点，渐进线；函数图象的描绘。

重点与难点：拉格朗日中值定理及其证明方法，极值的判定。

(八)不定积分

原函数与不定积分的概念，基本初等函数的积分公式；换元积分法与分部积分法；有理函数的积分法，三角函数及简单无理函数的不定积分。

重点与难点：不定积分的概念与计算，第一类换元积分法。

(九)定积分

引出定积分概念的实例，定积分概念；可积准则：可积必要条件，小和与大和，可积充要条件，三类可积函数；定积分性质；定积分的计算：积分上限函数，定积分基本公式，换元积分与分部积分法；定积分的应用：微元法，平面面积，体积，弧长，旋转曲面面积的计算，定积分在物理上的应用。

重点与难点：定积分概念，积分上限函数，定积分基本公式，微元法。

(十)无穷级数

1．数值级数：级数收敛与发散的概念，收敛级数的性质，正项级数及其敛散性的判定；交错级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛。

2．函数项级数：函数级数的收敛域，一致收敛的概念与判定；函数列的一致收敛，和函数的分析性质。

3．幂级数：幂级数的收敛域，幂级数和函数的分析性质，泰勒级数，基本初等函数的幂级数展开，幂级数的应用。

4．付立叶级数。

重点与难点：正项级数审敛法，函数级数一致收敛的概念与判定，幂级数收敛区间及和函数求法，初等函数的幂级数展开。

(十一)多元函数微分学

1. 多元函数：平面点集，坐标平面的连续性，多元函数的概念。