攻克对数：一瞥对数的历史和用途

Chopping Logs: A Look at the History and Uses of Logarithms

Rafael Villarreal-Calderon

The University of Montana

摘要(Abstract):

对数(Logarithms)是许多技术构式的组成部分，了解它们的历史和发展有助于理解(see)它们的重要性和相关性。本文(paper)探讨了对数的起源及其在古代和现代的用途。

关键字：计算(Computation)；对数(Logarithms)，对数史；数学史；数“e”；Napier对数

1. 发明对数的历史背景(Background)

2. 计算技巧(Calculation Techniques)

2.1 关于Napier的对数定义(参见Cairns, 1928年, 和Cajori, 1893年, Katz, 2004年, 以及Pierce, 1977)

2.2 在计算中使用Napier对数(参见Katz, 2004年)

2.3 Briggs的对数(参见Cairns, 1928年，以及Henderson, 1930年)

2.4 计算尺的计算(参见Stoll, 2006年)

2.5 自然对数

3. 总结与启示(Conclusion & Implications)

1. 发明对数的历史背景(Background)

几个世纪以来，对数一直是数学的一部分，但多年来，对数的概念发生了显著变化。对数的起源可以追溯到1614 年，由John Napier创造(注：“logarithm”一词由Napier创造，由希腊词汇“logos”(词义为“ratio”，即“比率”)和“arithmos”(词义为“number”，即“数”)提出，合起来即“ratio-number”(比率数)之意；17世纪中叶以后，对数与对数表传入我国，在 $1g(2)(log_{10}2 )=0.30103$ 这样的式子里，2叫做“真数”(这个名称至今不变)，而0.30103叫做“假数”，“真数与假数成对列成表”，所以叫做“对数表”。后来“假数”这个名称渐渐不用，把0.30103叫做真数2的“对数”，即可理解为“以这种关系而产生的对应的数”)。 Napier出生在苏格兰爱丁堡附近，是一位狂热的数学家，他以对球面几何的贡献和设计机械计算器而闻名(Smith，2000 年)。此外，Napier首先使用(并推广)小数点作为将数字中的整数部分与小数部分分开的方法(译注：首先推广小数点的记法，并不是首先推广使用小数这种思想)。Napier对天文学也很感兴趣，并通过观察和研究做出了许多计算。他进行的计算很冗长，并且多次涉及三角函数(RM，2007年)。经过多年的努力，慢慢地建立起了对数这个概念，最后，他终于发明了他这一生最著名的发明：对数(Smith，2000年)。

在他的书(出版于1614年)<<Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio>>(奇妙对数表说明书)中，Napier解释了为什么需要对数，“看到没有......这对数学实践(Mathematicall practise)来说太麻烦了(troublesome)，也没有更适中的(modest)后继计算器出现；当时能使的手段只有大量的乘法，除法，开平方根和开立方根，这些方法除了冗长乏味耗时之外，大多数情况下还容易导致出现许多错误，因此我开始在我的脑海中酝酿是否可通过什么确定的现成艺术，我或许可以凭其消除这些障碍。” (Smith，2000年)

在Napier时代，许多天文计算(astronomical calculations)需要非常大的数的原始乘除运算。16世纪的天文学家经常使用“积化和差公式(prosthaphaeresis)”，这是一种通过使用像 $sin(\alpha).sin(\beta)=\frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta))$ 以及其它类似的要求简单的加减法三角恒等式来获得乘积的方法(Katz, 2004)。例如，如果有人要计算2994乘以3562，则先置sin(α)为0.2994(放置小数点以便稍后使用α的值)，同理，置sin(β)为 0.3562——这样就可以求得α ≈ 17.42，β ≈ 20.87 (通过查三角正弦余弦表获得)。接下来，将α和β值插入到等式中，再次使用查表法，然后进行简单的减法并除以2——将产生结果约为0.10665158。通过将小数点移动相同的次数以适应三角恒等式(向右八位)，答案变为10,665,158(近似于实际值10,664,628)。因为这个答案是一个估计值，所以所需的准确位数将取决于最初给α和β的值。采用这样的计算技巧，天文学家们可以减少错误并节省计算时间(Katz，2004年)。

除了使用“积化和差公式”之外，Napier还知道其他简化计算的方法。德国数学家 Michael Stifel 于1544年建立了整数等差级数(arithmetic sequences)与相应的2自乘(raise)这些整数次数形成的等比级数(geometric sequences)之间的关系(Smith，2000年):{ 1, 2, 3, 4, ... , n} 和 $\left \{ 2^1 , 2^2, 2^3, 2^4,..., 2^{n} \right \}$ 。在Stifel写的一些表中，他表明了这种关系 ——一张表中项的乘积与另一张表中项的加法相关(Katz，2004年)。例如，要求得 $\left ( 2^3. 2^5 \right )$ , 人们可以执行(3 + 5)(这是等差级数中的项)，然后将这个和插回等比级数，从而获得 $(2^3. 2^5) = 2^{(3+5)} = 2^8 = 256$ 。然而，这些表在其计算能力方面具有其局限性；另一方面，Napier 使用对数的方法允许通过使用加法对任何数进行乘法运算(Katz，2004年)。

为了定义对数，Napier使用了一个与今天人们对对数的看法截然不同的概念。由于当时的天文学家经常处理需要三角函数参与(特别是正弦函数)的计算，Napier的目标是制作一张表，其中正弦的乘法可以通过加法来替代完成(Katz, 2004年)。这个过程用一条线段和一条射线表示，其中，使线段和射线上分别有一个点从一端到另一端移动。这两个点的起始“速率(velocity)”相同，但差异开始于一个点(在射线上算术地)匀速移动，另一个点在线段上按比率速率移动，它的速率与行进到距离线段终点的剩余距离成正比。使用这种心智模型(mental model)，Napier将算术移动点移动的距离定义为按比率移动的点剩余移动距离的对数(Cajori, 1893)。用Napier的话来说，“给定正弦的对数是这样的数——在整个移动过程保持相同的速率在算术上递增的数，与半径开始按比率减小且同时半径减小到给定的数的数相同的数”(Katz，2004 年)(译注：利用几何来直观地解释对数)。在下面的“计算技巧(Calculations Techniques)”部分可以看到对该过程的详细说明。显然，Napier的对数定义与现代用基底自乘(raise)对应的指数(exponent)的对数概念不一样。

Napier花了大约20年的时间才真正组装了(assemble)他的对数表(Katz，2004年)，但在他的书出版后不久，英国数学家Henry Briggs访问了Napier(Smith，2000年)。Briggs是伦敦的几何学教授，他对Napier的工作印象深刻，(他在给Napier的信中写道)“阁下(My lord)，我特地进行了这次长途旅行，目的是要见您本人，并了解您是通过何种机智或独创性首先找到了这个最出色的天文学计算助手，即对数；但是，阁下，被您发现了，我想，之前没有人发现它，而现在知道了，它是如此容易(地使复杂的数据计算变得简单)。”(Cajori，1893年）

他们都讨论了置1的对数为0 (而不是起初的置10,000,000的对数为0)和置10的对数为1的便捷性。按这种方式，对数的更为熟悉的形式诞生了，其通用性质如log(xy) = log(x) + log(y) 可以用于制作新的对数表。Napier于1617年去世，因此Briggs开始进行计算以构建该对数表(Katz，2004)。然而，Briggs没有将Napier对数转换为新的常用对数。相反，他着手计算连续的平方根以获得素数的对数，并用这些来计算从1到 20,000和从90,000 到100,000的所有自然数的对数(译注：自然数的对数不等于自然对数，以数e为底的对数才称为自然对数，注意这些概念具有迷惑性)。尽管他确实使用算法求根，但计算所有这些对数所需的工作量仍然令人震惊。例如，为了计算2的对数，他计算了47个连续的平方根(Smith，2000年)。此外，对数的所有计算都精确到小数点后14位(Cajori, 1893年)。此任务所需的计算示例在下面的“计算技巧”部分中显示。最后，在1624年，Briggs在他的<<Arithmetica Logarithmica>>(算术对数)中发表了他的对数表。20,000 到 90,000 之间的数的对数是由荷兰人Adrian Vlacq计算的，他在1628年发表了从1到100,000的完整对数表(Cajori，1893年)。

下面是Briggs的<<算术对数>>表中的一页(MatematikSider，2007年)中的一页(图1)。

------------------图1 Briggs的<<算术对数>>表中的一页------------------------

人们看待对数的方式随着时间而改变，今天的对数符号是由Leonhard Euler在1700 年代后期开发的。他通过定义 $log_{x}y = z$ 以使得当 $x^z = y$ 时成立，从而将指数函数和对数函数关联了起来。(Smith，2000年) 这个定义被证明非常有用，并发现了很多应用。对数实际应用的一个典型例子是计算尺(a slide rule)。1622年，英国人William Oughtred 制作了一把计算尺，将两个滑动对数刻度尺并排放置。计算尺可以取代在对数表中查找值的需要，而是要求值对齐以执行乘法、除法和许多其他操作(取决于模型)。直到20世纪70年代，随着电子计算器的问世，计算尺才广泛应用于科学和工程领域(Stoll，2006年) 下面的“计算技巧”部分介绍了计算尺如何用于计算。

尽管常用对数有许多实际用途，但另一种对数广泛应用于从微积分到生物学的各个领域。

形如 $log_{e}a = n$ 的对数称为自然对数(译注：自然对数并不是自然数的对数的简称，而是数学家们认为，“e”这个数是天生地设的，是大自然本来就存在的，并非人造的，人类只不过是“发现者”，因此它是“自然的”，由此而得名“自然的”，以此为底的对数命为“自然对数”，简记为ln)。对数的基(base)可以是任意大于1的数。“e”定义为 $(1+\frac{1}{n})^{n}$ 当n趋近于无穷大时的极限值，乍一看，这个定义有点别扭，但事实证明，“e”不仅在自然界中频繁出现，而且还使自然对数具有所有对数系统中最简单的导数(Evans，1939年)。应用数学问题的各种解都可以表示为 e 的幂(powers):电流通过电路、放射物衰变(radioactive decay)、细菌生长(bacterial growth),等等。(Lowan, 2002年)。自然对数源于英国数学教师John Speidell对Napier对数的修改。在1622年他发布了他的<<New Logarith>>(新对数)，内容包括以自然对数逞现的正切、正弦、以及正割的对数(除却他省略掉十进制小数点)。例如，他给出的对数log(10) = 2302584，写成我们今天的规范形式为 $log_{e}10 = 2.302584$ (Cajori, 1893)。有趣的是，用现代的记法，Napier的x的对数相当于 $[10^{7}.log_{\frac{1}{e}}(\frac{x}{10^{7}})]$ (Smith，2000年)。

2. 计算技巧(Calculation Techniques)

2.1 关于Napier的对数定义(参见Cairns, 1928年, 和Cajori, 1893年, Katz, 2004年, 以及Pierce, 1977)

给定一条射线和一条线段，点G沿着射线向射线箭头方向移动，点H沿着线段向箭头方向移动(如图2)。

-------------------------------图2 Napier 的对数演示图------------------------

G点以固定的速率在相等的时间间隔内行进b的距离(沿着构成等差级数的距离行进)，H点以相等的时间间隔从0移动到r-ar,r-ar 移动到 $r-a^2r, r-a^2r$ 移动到 $r-a^3r$ , 如此直到移动到r。Napier令 $r = 10^7$ ,令a小于1 (但非常接近于1)。

他令(从0到r的)线段表示“90°角的正弦”,令从r到H的距离为以G行进的距离为对数的圆弧的正弦(r到H的距离看作一段圆的圆弧)。因此，Napier有 $log(10^7) = 0 (10^7 = r$ ，必须记住，在那个时候和之后很长一段时间内，角的正弦并不像现在那样被视为比率，而是被视为给定半径的圆的某一圆心角正对的半弦(即圆心角对应的弦的一半)的长度。Napier取半径为 $10^7$ 个单位(units),因此，90°的正弦称为满正弦(whole sine)(圆心角为180°时其弦长等于直径，弦的一半就是半径)；Napier指出，可以自由选择对数0赋值的正弦或数，经常乘以或除以满正弦(complete sine或whole sine)(sin(90°)是必要的,因此如果这个正弦的对数取为零, 就可以省去麻烦)。在Napier的对数系统下，没有应用基底及其对应的指数的概念。从积分的意义上讲，Napier的对数可以看作是一种“瞬时”速率的度量方法。例如，H点的速率 $V_{H} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{d(r-x)}{dt}$ ,其中，x是点H行进到r的余下的距离。类似地，H点的速率 $V_{G} = \frac{\Delta y}{\Delta t}$ ,其中，y是点G是行进的距离(这个速率是匀速的)。

以下面方式获到Napier对数的现代积分术语的定义:

因为H点的速率与其行进到r的剩余距离(记为x)成比率(也就是说，x与 $V_{H}$ 是成比率的关系, 设这个比例为a，则 $V_H = ax$ ，因此，后面的积分式可以用x代替 $V_{H}$ ，并略去这个比率因子，对积分式无实质影响),故前面的 $V_{H}$ 表达式可写成等价形式 $\frac{d(r-x)}{dt}=x$ 。因此，

$\frac{d(r)}{dt} -\frac{d(x)}{dt} = x$ 又因为r是常量 $(10^7)$ ,我们有

$0 - \frac{d(x)}{dt} = x\rightarrow - \frac{dt}{d(x)} =\frac{1}{x}\rightarrow \int -dt = \int \frac{1}{x}dx\rightarrow -t = ln(x)+c$ 。

因为G和H的始发速率相同，当t = 0时，则x = r ,因此有

0 = ln(x) + c → c = -ln(r) ，因此，- t = ln(x) - ln(r) 。

点G以算术方式前进，它的速率为 $\frac{dy}{dt}$ 。已经确定它的速率是恒定的，并且它在t = 0时等于H的起点速率，则 $\frac{dy}{dt} = r \rightarrow \int -dy = \int -rdt\rightarrow y=rt$ 。

最后，将x与y关联起来，我们得到

$- t = ln(x) - ln(r) \rightarrow t = ln(r) - ln(x) \rightarrow t = ln(\frac{r}{x}) \rightarrow y = r ln(\frac{r}{x})$ 。

按照这个定义，Napier定义的对数log(x) = y 用现代的记法应该表示为

$Naplog(x) = r ln(\frac{r}{x}) = 10^{7}. ln(\frac{10^{7}}{x})$

Napier在计算他的对数时并没有使用e这个记法，但是，从这个角度，有助于理解对数、积分、以及e和自然对数的用途之间的联系。

2.2 在计算中使用Napier对数(参见Katz, 2004年)

为了在计算中使用他的对数，Napier必须指出 $Naplog(10^7) = 0$ 。

假如j/p = w/z ，则Naplog(j) - Naplog(p) = Naplog(w) - Naplog(z) 。

假如f/q = q/m ，则Naplog(f) - Naplog(q) = Naplog(q) - Naplog(m) 且

2 Naplog(q) = Naplog(f) + Naplog(m)，并且，假如 f/q = m/k 则 Naplog(f) + Naplog(k) = Naplog(q) + Naplog(m)。

使用他建立的这些属性，符合他的对数，可以参考他的表来解三角形。例如，对于如图3所示的三角形，使用正弦法则 sin(θ)/t = sin(δ)/ d ，应用这个属性可以求得δ, Naplog(sin(δ)) = Naplog(sin(θ)) + Naplog(t) - Naplog(d),再反查他的对数表，Napier可以通过简单的加减法运算计算出δ 。

-----------------------图3 Napier 的对数解三解形--------------------------------------------------

2.3 Briggs的对数(参见Cairns, 1928年，以及Henderson, 1930年)

Briggs 改用 Napier 的对数来拟合 log(10) = 1，从而诞生了今天的常用对数。例如，通过连续平方根，Briggs得出相应的结论，

如果 $\sqrt{10}\approx 3.162277$ ，则 log (3.162277) = 0.5

如果 $\sqrt{\sqrt{10}} \approx 1.77828$ ，则 log (1.77828) = 0.25

如果 $\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}\approx 1.33352$ ，则 log (1.33352) = 0.125,等等。

为了求得质数(prime number)的对数，Briggs使用了下面的方法：

为了求得log(2)，他注意到，假如他自乘(raise)2的某个幂次(a certain power)，结果值的数字位数就给出了log(2)的近似值(由于这是以10为底的对数的性质)；具有 x 位数的数的对数介于 x–1 和 x 之间,例如， $2^8$ = 256 → 2 < log(2) < 3 (注：256是3位数)。

然后，他指出，x–1 和 x可以除以——2自乘的幂次(exponent)数(例如，2自乘3次，测除以3)——以得到2的对数的近似值：

……如此等等，直到Briggs求得log(2)到小数点后14位数。一旦他计算出了其它质数的对数，他就遵循这个对数规则：例如，log(10) = log(2.5) = log(2)+ log(5)。直到他的表覆盖了从1-20,000和90,000-100,000的数的对数。

2.4 计算尺的计算(参见Stoll, 2006年)

计算尺的工作原理是将乘法和除法简化为对数刻度加法或减法。计算尺基本上是将合适的刻度打印到标尺类型的装置上，只需将光标(cursor)滑动到另一个刻度上，就可以快速完成长时间的操作。在没有真正理解对数的情况下使用计算尺可能会侥幸逃脱以下基本规则，但要制作一个计算尺，以下规则是必不可少的：

log(x.y) = log(x) + log(y)

log(x/y) = log(x) - log(y)

$log{(x^{y})} = ylog(x)$

等等……

Briggs对数允许长操作，例如，10478·97503 变成

log(10478) + log(97503) = 4.020278 + 4.989018 = 9.009296 , 则逆对数antilog(9.009296) = 10478(97503) ≈ 1,021,636,000 。

2.5 自然对数

以 e 为底的对数不可避免地出现在微积分中(微积分是在Napier去世后才发展起来的)。看看这些对数对于获得某些积分是多么重要：令 $f(x) = log_{e}(x) = ln(x)$ , 我们求导数 ${f }'(x)=\lim_{h->0}[f(x+h)-f(x)]/h=\lim_{h->0}[ln(x+h)-ln(x)]/h= \lim_{h->0}[ln(\frac{x+h}{x})]/h$

$=\lim_{h->0}[ln(1+h/x)/b][(1/x)(1/x)] = \lim_{h->0}[\frac{1}{x}][ln(1+h/x)]/[(h/x)]$

$=\lim_{h->0}[\frac{1}{x}][\frac{x}{h}][ln[(1+\frac{h}{x})]=\lim_{h->0}[\frac{1}{x}][ln(1+\frac{h}{x})^{x/h}] = \frac{1}{x}\lim_{h->0}[ln(1+\frac{h}{x})^{x/h}]$

$=\frac{1}{x}\lim_{x/h->\infty}ln(1+\frac{h}{x})^{h/x}$ (按照自然对数的定义，取 $(1+\frac{1}{n})^{n}$ 当n趋近于无穷大时的极限值)

$=[\frac{1}{x}] ln(1+\frac{h}{x})^{(x/h) }= (1/x) ln(e) = (1/x)$

因此,d(ln(x))/d(x) = (1/x),以及 $\int (1/x)dx = ln(x) + x$ 。

e 的定义为 $\lim_{n->\infty}(1+\frac{1}{n})^{n} = e$ ，因此，上面的式子成立。

3. 总结与启示(Conclusion & Implications)

对数最初实际上是通过比较算术运动点和比率运动点的速率而发展起来的,以今天的对数概念来看，可能会觉得这种起源非常奇怪。Napier的想法花了他几十年的时间才得到充分发展和总结，Briggs的工作帮助简化和增强了一项有用的数学发明。在今天看起来像是简单的指数关系的底数实际上有着悠久的工作和改进历史。自然对数进一步帮助我们看到苏格兰数学家(和许多其他人)的工作与微积分及其在数学、科学和技术中的所有现代应用之间的联系。

Napier发明的对数无疑在数学史上留下了重要的印记。从他和其他人开发的计算中得出的应用程序在今天仍然具有相关性。虽然计算尺现在已经过时，但允许它们发挥作用的原理却没有过时。对数的发展故事是数学发现和发明对社会和技术世界产生影响的一个很好的例子。

在撰写本文时，我学到了很多有关这些计算辅助工具的知识。但也许更重要的是，我已经意识到弄清楚数学运算和技巧肯定需要大量的努力、时间和投入。今天，我们常常把那些整齐地编入数学和科学教科书的符号和解释视为理所当然。人们很容易忘记，每个等式都包含一个故事：挫折、迷恋、艰苦的工作、友好的合作、失望和偶尔的意外发现。数学不仅与数有关，而且还与那些工作给我们带来理解的奢侈和乐趣的人有关。

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