MATLAB利用主成分分析进行综合评价排名
文章目录
- 问题提出
- 数据
- 问题的求解
- 数据预处理
- 编写程序求解
问题提出
- 利用主成分分析对2007年安徽省17个地区的经济发展进行分析，给出排名；
- 此时能否只用第一主成分进行排名，为什么？
数据
数据采用 安徽省各地区经济指标数据（17个省）1，其中部分数据如下：
| 地区 | 工业总产值 | 资产合计 | 工业增加值 | 实收资本 | 长期负债 | 业务收入 | 业务成本 | 利润 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 合肥 | 491.70 | 380.31 | 158.39 | 121.54 | 22.74 | 439.65 | 344.44 | 17.43 |
| 淮北 | 21.12 | 30.55 | 6.40 | 12.40 | 3.31 | 21.17 | 17.71 | 2.03 |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … |
| 黄山 | 5.02 | 3.62 | 1.63 | 1.42 | 0.53 | 4.45 | 4.04 | 0.02 |
问题的求解
数据预处理
将上述数据保存于 datas.txt 文档中，17个省，8项指标。
编写程序求解
首先根据相关系数矩阵对指标变量筛选，将相关系数接近于1的两个变量剔除一个，然后根据保留下来的变量的观测样本矩阵进行分析。计算数据的相关系数矩阵程序如下：
clc; clear;
A = load('datas.txt');
% 相关系数矩阵
R = corrcoef(A);
得到相关系数矩阵如下：
>> R
R =1.0000 0.9877 0.9988 0.9820 0.4281 0.9999 0.9980 0.95100.9877 1.0000 0.9884 0.9947 0.5438 0.9885 0.9835 0.94850.9988 0.9884 1.0000 0.9824 0.4294 0.9984 0.9948 0.94620.9820 0.9947 0.9824 1.0000 0.5051 0.9829 0.9763 0.93910.4281 0.5438 0.4294 0.5051 1.0000 0.4311 0.4204 0.45570.9999 0.9885 0.9984 0.9829 0.4311 1.0000 0.9986 0.95300.9980 0.9835 0.9948 0.9763 0.4204 0.9986 1.0000 0.95690.9510 0.9485 0.9462 0.9391 0.4557 0.9530 0.9569 1.0000
>>
相关系数矩阵中 r16=r61=0.9999r_{16} = r_{61} = 0.9999r16=r61=0.9999，很接近于1，指标 x1,x6x_1, x_6x1,x6 几乎线性相关，保留其中的一个指标如 x6x_6x6，接下来根据保留下来的指标变量进行综合评价：
% 去除第1列中的数据后，将数据标准化
A1 = A(:, 2:8) ./ [ones(17, 1) * std(A(:, 2:8))];
[r, c] = size(A1);
% 计算特征值与特征向量
[v, d] = eig(corrcoef(A1));
% 各主成分贡献率
w = sum(d) / sum(sum(d))% 计算各个主成分得分
F = [A1 - ones(r, 1) * mean(A1)] * v(:, c);
% F1 按从大到小的顺序给个主成分得分排名，I1 给出各个名次的序号
[F1, I1] = sort(F, "descend");
% 再次排序，I2 给出个城市排名，即所求排名
[~, I2] = sort(I1);
city = ["合肥", "淮北", "亳州", "宿州", "蚌埠", "阜阳", "淮南", "滁州", "六安", "马鞍山", "巢湖", "芜湖", "宣城", "铜陵", "池州", "安庆", "黄山"];
for i = 1:rfprintf("%s\t%d\n", city(i), I2(i))
end
输出如下：
v =0.3956 0.7667 0.1603 0.1779 -0.1890 0.0129 0.4031-0.4365 -0.1233 0.7062 -0.2626 -0.2195 -0.1371 0.3995-0.2188 -0.2950 -0.2222 0.7606 -0.2762 -0.0317 0.3999-0.0404 -0.0772 -0.0125 -0.1146 0.0114 0.9655 0.21650.6720 -0.5053 -0.0803 -0.2948 -0.1447 -0.1364 0.4003-0.3897 0.2190 -0.6421 -0.4508 -0.0550 -0.1495 0.3991-0.0059 -0.0264 0.0854 0.1328 0.9032 -0.0835 0.3894d =0.0001 0 0 0 0 0 00 0.0004 0 0 0 0 00 0 0.0041 0 0 0 00 0 0 0.0218 0 0 00 0 0 0 0.0791 0 00 0 0 0 0 0.7643 00 0 0 0 0 0 6.1302w =0.0000 0.0001 0.0006 0.0031 0.0113 0.1092 0.8757合肥 1
淮北 10
亳州 17
宿州 14
蚌埠 5
阜阳 7
淮南 6
滁州 4
六安 8
马鞍山 3
巢湖 12
芜湖 2
宣城 11
铜陵 13
池州 15
安庆 9
黄山 16
因为最大特征值对应的值是 6.1302，对应列的特征向量是正向量，且其贡献率为 0.8757 > 60%，所以可以用第一主成分得分进行排名。
数据来源：《安徽统计年鉴2008》 ↩︎
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