实例解读奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特判据

Z=P−RZ = P - R Z=P−R

其中，PPP为开环传递函数在虚轴右侧的极点个数；RRR为开环奈奎斯特曲线逆时针绕(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 的圈数，ZZZ 为闭环传递函数的极点个数。

若 Z=0Z=0Z=0，系统稳定，否则系统不稳定。

以下通过两个例子说明如何使用Nyquist判据判断系统稳定性。

例1

1.计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数 PPP

开环传递函数

G(s)H(s)=ss2+1⋅1=ss2+1G(s)H(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \cdot 1 = \frac{s}{s^2 + 1} G(s)H(s)=s2+1s⋅1=s2+1s

num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den)

open_root = 0.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000i

其开环极点没有在虚轴右侧，故 P=0P=0P=0。

2.绘制Nyquist图，逆时针绕(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 的圈数

num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);

逆时针绕(−1,j0)(-1, j0)(−1,j0) 共 0 圈，即 R=0R=0R=0。

3.判断结果

由于Z=P−R=0−0=0Z=P-R=0-0=0Z=P−R=0−0=0，故系统稳定。

4.验证

容易得出系统的闭环传递函数为

Φ(s)=G(s)1+G(s)H(s)=ss2+s+1\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s}{s^2 + s + 1} Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)=s2+s+1s

其单位阶跃响应如下

num = [1 0];
den = [1 1 1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);

可见系统振幅逐渐减小，趋于稳定。

例2

1.计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数 PPP

开环传递函数

G(s)H(s)=s−2s3+1⋅1=s−2s3+1G(s)H(s) = \frac{s-2}{s^3 + 1} \cdot 1 = \frac{s-2}{s^3 + 1} G(s)H(s)=s3+1s−2⋅1=s3+1s−2

num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den)

open_root =-1.0000 + 0.0000i0.5000 + 0.8660i0.5000 - 0.8660i

有 2 个开环极点在虚轴右侧，故 P=2P=2P=2。

2.绘制Nyquist图，逆时针绕(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0) 的圈数

num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);

逆时针绕(−1,j0)(-1, j0)(−1,j0) 共 1 圈，即 R=1R=1R=1。

3.判断结果

由于Z=P−R=2−1≠0Z=P-R=2-1 \neq 0Z=P−R=2−1=0，故系统不稳定。

4.验证

容易得出系统的闭环传递函数为

Φ(s)=G(s)1+G(s)H(s)=s−2s3+s−1\Phi(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s-2}{s^3 + s - 1} Φ(s)=1+G(s)H(s)G(s)=s3+s−1s−2

其单位阶跃响应如下

num = [1 -2];
den = [1 0 1 -1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);

可见系统振幅逐渐增大，不稳定。

总结

ZZZ的数学意义是闭环传递函数在右半平面的极点个数，P,RP, RP,R 都是开环传递函数的得到的，因此Nyquist判据使用开环传递函数即可判断闭环系统的稳定性，避免求解闭环传递函数及闭环传递函数的根。由 ZZZ 的实际意义，容易理解 Z=0Z=0Z=0 时闭环系统自然稳定。
使用Nyquist判据，分三步走，一是判断写出开环传递函数并计算在虚轴右侧的极点个数PPP；二是绘制出Nyquist图并数出逆时针绕(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点的圈数 RRR；三是计算 Z=P−RZ=P-RZ=P−R，若Z=0Z=0Z=0 则系统稳定，否则系统不稳定。
需要注意的是，由于手工往往只画出一半的Nyquist图，另一半关于实轴对称，此时数得包含(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)得圈数 NNN 应乘以 2，即 Z=P−2NZ=P-2NZ=P−2N。

— 完 —

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