【计算方法】牛顿-拉弗森法（非线性方程的求解）

牛顿法

设函数y=f(x)同x轴相较于点(p,0)，我们假设初始值p0在p附近，过函数曲线上点(p0,f(p0))的切线与x轴交线为p1
如图上这样反复迭代，不断逼近p点，这里同样可以用斜率的公式去推导p1和p0的关系式：

经过证明，该玩意可以推广至pk项和pk-1项，且是收敛的。同时公式的推导也可以采用泰勒展开式去推导。

需要注意
除零错误，可以看到导数项是作为分母，不能为零的。

割线法

由于该方法是需要求导数项的，为了避免导数的计算，我们可以做进一步的优化，

然后我们依然通过斜率的方式来推导公式

终止迭代条件

前后两次p的绝对误差、相对误差以及求出来的f§函数值精度
同时注意，在C/C++中，若要使用库定义的数学常量，须在文件头加上这一句

#define _USE_MATH_DEFINES

例题

【问题描述】在考虑空气阻力情况下，求解投射体撞击地面时经过的时间和水平飞行行程，其中：y=f(t)=9600*(1-e**(-t/15.0)) - 480t；x=r(t)=2400(1-e**(-t/15.0))。
【输入形式】在屏幕上输入3个数，分别表示起始值、前后两次迭代的差的绝对值精度和f(t)函数值的精度。各数间都以一个空格分隔。
【输出形式】第一行输出投射体撞击地面时经过的时间，第二行输出水平飞行行程，精确到小数点后3位。
【样例1输入】
8 1 1
【样例1输出】
9.090
1090.692
【样例1说明】输入：起始值为8、前后两次迭代的差的绝对值精度为10**(-1)和f(t)函数值的精度为10**(-1)。输出：第一行输出投射体撞击地面时经过的时间为9.090秒，第二行输出水平飞行行程为1090.692ft。
【评分标准】根据输入得到的输出准确

AC代码：

/** @Author: csc* @Date: 2021-03-19 18:35:13* @LastEditTime: 2021-03-19 19:18:57* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\niudun.cpp*/#define _USE_MATH_DEFINES
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <string.h>
#include <string>
#include <numeric>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define pr printf
#define sc scanf
#define sf(n) scanf("%d", &n)
#define sff(n1, n2) scanf("%d %d", &n1, &n2)
#define sfff(n1, n2, n3) scanf("%d %d %d", &n1, &n2, &n3)
#define sl(n) scanf("%lld", &n)
#define sll(n1, n2) scanf("%lld %lld", &n1, &n2)
#define slll(n1, n2, n3) scanf("%lld %lld %lld", &n1, &n2, &n3)
#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)
#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)
#define foran(i, a, n) for (i = a; i <= n; i++)
#define forna(i, a, n) for (i = n; i >= a; i--)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define int long long
#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))
#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define sq(x) ((x) * (x))
#define sz(x) x.size()
const int N = 2e5 + 100;
const int mod = 998244353;
namespace fastIO
{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}
} // namespace fastIO
using namespace fastIO;using namespace std;double newton(double p, double del, double eps)
{auto f = [&](double t) -> double {return 9600 * (1 - pow(M_E, -t / 15.0)) - 480 * t;};auto f1 = [&](double t) -> double {return 640 * pow(M_E, -t / 15.0) - 480;};double p1 = p - f(p) / f1(p);double cha = abs(p1 - p);double re = 2 * cha / (abs(p1) + del);p = p1;double y = f(p);if (cha < del || re < del || abs(y) < eps)return p;elsereturn newton(p, del, eps);
}signed main()
{int _ = 1;//sf(_);while (_--){auto x = [&](double t) -> double {return 2400 * (1 - pow(M_E, -t / 15.0));};double p, d1, d2;cin >> p >> d1 >> d2;double delta = pow(0.1, d1), epsilon = pow(0.1, d2);p = newton(p, delta, epsilon);cout << fixed << setprecision(3) << p << endl;cout << fixed << setprecision(3) << x(p) << endl;}return 0;
}

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