文章目录

一、基本原理
二、原理深入讲解
- 1 、切线是曲线的线性逼近
- 2、牛顿-拉夫逊法
- 3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？
三、pythons实例
总结

一、基本原理

对于一个方程 f ( x ) = 0 ，我们将函数 f ( x )单独考虑。
若函数 f ( x ) (n+1)阶可导，则我们在初始值 x = x ₀ 处进行泰勒展开，可得：

令 x − x ₀= Δ x ，然后将上述泰勒公式一阶展开，忽略余项可得：

令其等于 f ( x ) = 0，可得：

从而求出：

二、原理深入讲解

1 、切线是曲线的线性逼近

要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题：切线是曲线的线性逼近。
这个是什么意思呢？我们来看一看，下面是 f(x)=x^2 的图像：

我们随便选一点f(x) 上的一点(a,f(a))作它的切线：

我们在A点处放大图像：

上图中，红色的线是f(x)，黑色的是A点处的切线，可以看出放大之后切线和f(x)非常接近了。很明显，如果我们进一步放大图像，A点切线就越接近f(x)。

因为切线是一条直线（也就是线性的），所以我们可以说，A点的切线是f(x)的线性逼近。离A点距离越近，这种逼近的效果也就越好，也就是说，切线与曲线之间的误差越小。所以我们可以说在A点附近，“切线约等于 f(x) ”。

2、牛顿-拉夫逊法

牛顿-拉夫逊法提出来的思路就是利用切线是曲线的线性逼近这个思想。
牛顿、拉夫逊们想啊，切线多简单啊，研究起来多容易啊，既然切线可以近似于曲线，我直接研究切线的根不就成了。
然后他们观察到这么一个事实：

随便找一个曲线上的A点（为什么随便找，根据切线是切点附近的曲线的近似，应该在根点附近找，但是很显然我们现在还不知道根点在哪里），做一个切线，切线的根（就是和x轴的交点）与曲线的根，还有一定的距离。牛顿、-拉夫逊们想，没关系，我们从这个切线的根出发，做一根垂线，和曲线相交于B点，继续重复刚才的工作：

之前说过，B点比之前A点更接近曲线的根点，牛顿、拉弗森们很兴奋，继续重复刚才的工作：

第四次就已经很接近曲线的根了

经过多次迭代后会越来越接近曲线的根（下图进行了50次迭代，哪怕经过无数次迭代也只会更接近曲线的根，用数学术语来说就是，迭代收敛了）：

3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？

我们来看看收敛的充分条件：
若
f(x)
二阶可导，那么在待求的零点
x
周围存在一个区域，只要起始点
x_0
位于这个邻近区域内，那么牛顿-拉弗森方法必定收敛。

也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点 x_0 选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不可靠了。
驻点

起始点不幸选择了驻点，从几何上看切线根本没有根。
从代数上看，x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f’(x_n)没有意义。
越来越远离的不收敛

循环震荡的不收敛

不能完整求出所有的根

三、pythons实例

牛拉法主要流程

以 x ² − 4 x - 4 = 0 为例，设计 Python 程序：


import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot  as pltdef fun(x):y = x ** 2 - 4 * x - 1return ydef fun_diff(x):y = 2 * x - 4return ydef Netwon(x0, func, dfunc):# 迭代条件e = 1e-5x = np.zeros(2)x[0] = x0x[1] = x0 - func(x[0]) / dfunc(x[0])while abs(func(x[0])) > e:#在0附近x[0] = x[1]x[1] = x[0] - func(x[0]) / dfunc(x[0])return x[1]if __name__ == '__main__':x=np.arange(-5,5,0.1)y=fun(x)x1=Netwon(0, fun, fun_diff) #牛拉法求得的点plt.plot(x,y)plt.xlim(-5, 5)plt.ylim(-10, 50)plt.scatter(x1,fun(x1),color='red')plt.show()

总结

应用牛顿-拉夫逊方法，要注意以下问题：
函数在整个定义域内最好是二阶可导的
起始点对求根计算影响重大，可以增加一些别的判断手段进行试错

作者：电气-余登武

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