Problem

UOJ

看题后：

boshi：这是一道简单题
队长：这题好像不难，感觉和猎人杀有点像
我：

Solution

感觉自己越来越菜了，再这样下去，要是正式考试送温暖岂不是连温暖都拿不到了。。

一脸min-max反演的样子，由于每个鸽子都等价，枚举子集大小 iii 即可

ans=∑i=1n(ni)(−1)i+1nif(i)ans=\sum_{i=1}^n\binom n i(-1)^{i+1}\frac n i f(i)ans=i=1∑n(in)(−1)i+1inf(i)

其中 ni\frac n iin 来源于平均每 ni\frac n iin 步才会有一粒喂给选中的鸽子。f(i)f(i)f(i) 表示的是给 iii 只鸽子喂食，有一个鸽子大于等于 kkk 时停止的期望步数。

枚举喂给其他鸽子的玉米粒数量，概率通过方案数来算

f(i)=∑j=0(i−1)(k−1)(j+k)i(j+k−1j)g[i−1][j](1i)j+kf(i)=\sum_{j=0}^{(i-1)(k-1)} (j+k)i\binom {j+k-1} jg[i-1][j] (\frac 1 i)^{j+k}f(i)=j=0∑(i−1)(k−1)(j+k)i(jj+k−1)g[i−1][j](i1)j+k

其中 g[i−1][j]g[i-1][j]g[i−1][j] 表示给 i−1i-1i−1 只鸽子喂 jjj 粒，且每只都小于 kkk 的方案数。这个可以用生成函数算

g[i−1][j]=(∑r=0k−1xii!)i−1[j]g[i-1][j]=(\sum_{r=0}^{k-1} \frac {x^i} {i!})^{i-1}[j]g[i−1][j]=(r=0∑k−1i!xi)i−1[j]

时间复杂度 O(n2klog⁡(nk))O(n^2k\log (nk))O(n2klog(nk))

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=70010,mod=998244353,G=3;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{x=0;int f=0;char ch=getchar();while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();if(ch=='-') f=1,ch=getchar();while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();if(f) x=-x;
}
int n,k,N,l,ans,fac[maxn],inv[maxn],f[55],g[55][maxn],rev[maxn];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int C(int n,int m){return m>n?0:(ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int power(int x,int y)
{int res=1;for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)if(y&1)res=(ll)res*x%mod;return res;
}
void NTT(int *a,int f)
{for(int i=1;i<N;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int i=1;i<N;i<<=1){int gn=power(G,(mod-1)/(i<<1));for(int j=0;j<N;j+=(i<<1)){int g=1,x,y;for(int k=0;k<i;++k,g=(ll)g*gn%mod){x=a[j+k];y=(ll)g*a[j+k+i]%mod;a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);}}}if(f==-1){int iv=power(N,mod-2);reverse(a+1,a+N);for(int i=0;i<N;i++) a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;}
}
void init(int N)
{fac[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;inv[N]=power(fac[N],mod-2);for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{read(n);read(k);init(n*k);for(N=1,l=0;N<=(n*k);N<<=1) ++l;for(int i=1;i<N;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));for(int i=0;i<k;i++) g[1][i]=inv[i];NTT(g[1],1);g[0][0]=1;for(int i=2;i<n;i++)for(int j=0;j<N;j++)g[i][j]=(ll)g[i-1][j]*g[1][j]%mod;for(int i=1;i<=1||i<n;i++) NTT(g[i],-1);for(int i=1;i<=n;i++){int inv=power(i,mod-2);int tmp=power(inv,k-1);for(int j=0;j<N;j++,tmp=(ll)tmp*inv%mod)f[i]=(f[i]+(ll)(j+k)*C(j+k-1,j)%mod*g[i-1][j]%mod*fac[j]%mod*tmp)%mod;}for(int i=1;i<=n;i++){if(i&1) ans=(ans+(ll)C(n,i)*n%mod*power(i,mod-2)%mod*f[i])%mod;else ans=dec(ans,(ll)C(n,i)*n%mod*power(i,mod-2)%mod*f[i]%mod)%mod;}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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