合取范式（ conjunctive normal form (CNF)）

任何命题公式，最终都能够化成 (A1∨A2)∧(A3∨A4)(A_1 \vee A_2) \wedge (A_3 \vee A_4)(A1∨A2)∧(A3∨A4) 的形式，这种先 ∨析取\vee 析取∨析取再 ∧合取\wedge 合取∧合取的范式，被称为 “ 合取范式”。

析取范式（disjunctive normal form (DNF)）

任何命题公式，最终都能够化成 (A1∧A2)∨(A3∧A4)(A_1 \wedge A_2) \vee (A_3 \wedge A_4)(A1∧A2)∨(A3∧A4) 的形式，这种先 ∧合取\wedge 合取∧合取再 ∨析取\vee 析取∨析取的范式，被称为 “析取范式”。

Examples

对于之前出现的一些公式，我们都可以将他们转化成 CNF 或者 DNF

A⊕B≡(A∨B)∧(￢A∨￢B)A \oplus B \equiv (A\vee B)\wedge (￢A \vee ￢B)A⊕B≡(A∨B)∧(￢A∨￢B)
A↔B≡(A→B)∧(B→A)A \leftrightarrow B ≡ (A \rightarrow B) ∧ (B \rightarrow A)A↔B≡(A→B)∧(B→A)
A→B≡¬A∨BA \rightarrow B ≡ ¬ A ∨ BA→B≡¬A∨B
¬¬A≡A¬¬A ≡ A¬¬A≡A

Example 转换为合取公式

(¬P∧(¬Q→R))↔S(¬P ∧ (¬ Q \rightarrow R)) \leftrightarrow S(¬P∧(¬Q→R))↔S

≡((¬P∧(¬Q→R))→S)∧(S→(¬P∧(¬Q→R)))≡ ((¬P ∧ (¬Q \rightarrow R)) \rightarrow S) ∧ (S \rightarrow (¬P ∧ (¬Q \rightarrow R)))≡((¬P∧(¬Q→R))→S)∧(S→(¬P∧(¬Q→R)))

≡(¬(¬P∧(¬Q→R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬Q→R)))≡ (¬(¬P ∧ (¬Q \rightarrow R)) ∨ S) ∧ (¬S ∨ (¬P ∧ (¬Q \rightarrow R)))≡(¬(¬P∧(¬Q→R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬Q→R)))

≡(¬(¬P∧(¬¬Q∨R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬¬Q∨R)))≡ (¬(¬P ∧ (¬¬Q ∨ R)) ∨ S) ∧ (¬S ∨ (¬P ∧ (¬¬Q ∨ R)))≡(¬(¬P∧(¬¬Q∨R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬¬Q∨R)))

≡((¬¬P∨(¬¬¬Q∧¬R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬¬Q∨R)))≡ ((¬¬P ∨ (¬¬¬Q ∧ ¬R)) ∨ S) ∧ (¬S ∨ (¬P ∧ (¬¬Q ∨ R)))≡((¬¬P∨(¬¬¬Q∧¬R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(¬¬Q∨R)))

≡((P∨(¬Q∧¬R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(Q∨R)))≡ ((P ∨ (¬Q ∧ ¬R)) ∨ S) ∧ (¬S ∨ (¬P ∧ (Q ∨ R)))≡((P∨(¬Q∧¬R))∨S)∧(¬S∨(¬P∧(Q∨R)))

≡(((P∨¬Q)∧(P∨¬R))∨S)∧((¬S∨¬P)∧(¬S∨(Q∨R)))≡ (((P ∨ ¬Q) ∧ (P ∨ ¬R)) ∨ S)∧ ((¬S ∨ ¬P) ∧ (¬S ∨ (Q ∨ R)))≡(((P∨¬Q)∧(P∨¬R))∨S)∧((¬S∨¬P)∧(¬S∨(Q∨R)))

简化的合取和析取范式

简化方法：在一个 合取范式的 子句（clause）中，同一个逻辑 literal 只出现一次。
首先我们可以把第一个 clause 中的 A∨¬A≡TA \vee ¬A \equiv TA∨¬A≡T 转化成 ¬B∨T≡T¬B \vee T \equiv T¬B∨T≡T
第三个式子中 C∨C≡CC \vee C \equiv CC∨C≡C
所以上面的式子可以化简为

标准形式（Canonical form）

因为对于析取范式和合取范式化简的式子来说，可以有很多种形式，长短和每个子句的内容可能都不同，因此，我们要规定一个标准来处理这种情况。

异或标准形式（xor normal form）

一种标准形式 (“异或标准形式”) 使用互斥或和连词，以积和形式表示函数
或者，将和式表示为集合

二元决策图 form （ROBDD）

二元决策图(bdd)给出了另一种规范形式
A→BA \rightarrow BA→B 的子句表示在图中为实线
对于上图，如果得到的结果（叶子节点）只有一个 TTT 那就代表这个公式是 valid，如果只有一个 fff 就代表是 unsatisfiable 的

子句标准形式（clause form）

我们可以把合取公式表示的信息看做一个从句，由很多子句构成。

我们可以将这些连接的子句写成下面的形式：
- 子句中的 ,,, 表示的是 ∨\vee∨；子句间的 ,,, 表示的是 ∧\wedge∧
  
  在这里的 clause{A}clause \{A\}clause{A} 其本质上是 clause{A∨∅}clause\{A \vee \emptyset\}clause{A∨∅} 这里 A∨∅≡A∨F≡AA \vee \emptyset \equiv A \vee F \equiv AA∨∅≡A∨F≡A
  
  这里的 formula{C}formula \{C\}formula{C} 代表的是 formula{C∧∅}formula \{C\wedge\emptyset\}formula{C∧∅}，这里 ∅\emptyset∅ 相当于 TTT

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