f(x)和g(x)分别是概率密度函数，h(x)=f(x)g(x)还会是概率密度函数么?

答案是否定的。

我们举个正态分布的例子。

假设 $f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ ,也就是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是标准正态分布N(0,1)的。

令 $h(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{2\pi }e^{-x^2}$ 。注意，相乘纯粹是数学意义上的，至于物理意义这里没有给出，明显它也不代表联合概率密度函数定义，因为联合概率密度讨论的是两个不同的随机变量之间的问题，密度函数中肯定即包含x也包含y。这里纯粹是相乘！

现在就是要验证 $\int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx=1$ 是不是成立？(答案是否定的)

$\int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx$

$=\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{2\pi}e^{-x^2}dx$

$=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx$

因此，实际就是要证明 $\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx=2\pi$ (实际上是否定的)

令 $I=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx$ ，则

$I^2=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

利用极限坐标变换求上式：

$I^2=\int_{-\infty }^{+\infty}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

$=\int_{0 }^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rd\Theta dr$

$=2\pi\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr$

$=\pi$

因此 ${\color{Magenta} I=\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}$ ,

因此， ${\color{Magenta} \int_{-\infty }^{+\infty}h(x)dx=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}}$

这个例子告诉我们：

f(x)和g(x)分别是概率密度函数，h(x)=f(x)g(x)并不一定是概率密度函数。

可以用matlab验证：

syms x;
f1=exp(-x^2);
s1=int(f1,-inf,+inf)
s1=pi^(1/2)

f(x)和g(x)分别是概率密度函数，h(x)=f(x)g(x)还会是概率密度函数么?相关推荐

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